三角学示例

4 sin (x) cos (x) + cos (x) = 0

$4 \sin (x) \cos (x) + \cos (x) = 0$

解题步骤 1

从

4 sin (x) cos (x) + cos (x)

$4 \sin (x) \cos (x) + \cos (x)$ 中分解出因数

cos (x)

$\cos (x)$ 。

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解题步骤 1.1

从

4 sin (x) cos (x)

$4 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数

cos (x)

$\cos (x)$ 。

cos (x) (4 sin (x)) + cos (x) = 0

$\cos (x) (4 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

解题步骤 1.2

对

cos (x)

$\cos (x)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

cos (x) (4 sin (x)) + cos (x) = 0

$\cos (x) (4 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

解题步骤 1.3

从

{cos}^{1} (x)

$\cos^{1} (x)$ 中分解出因数

cos (x)

$\cos (x)$ 。

cos (x) (4 sin (x)) + cos (x) \cdot 1 = 0

$\cos (x) (4 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 = 0$

解题步骤 1.4

从

cos (x) (4 sin (x)) + cos (x) \cdot 1

$\cos (x) (4 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$ 中分解出因数

cos (x)

$\cos (x)$ 。

cos (x) (4 sin (x) + 1) = 0

$\cos (x) (4 \sin (x) + 1) = 0$

cos (x) (4 sin (x) + 1) = 0

$\cos (x) (4 \sin (x) + 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于

0

$0$ ，则整个表达式将等于

0

$0$ 。

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

4 sin (x) + 1 = 0

$4 \sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 3

将

cos (x)

$\cos (x)$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 3.1

将

cos (x)

$\cos (x)$ 设为等于

0

$0$ 。

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

解题步骤 3.2

求解

x

$x$ 的

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的

x

$x$ 。

x = arccos (0)

$x = \arccos (0)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

arccos (0)

$\arccos (0)$ 的准确值为

90

$90$ 。

x = 90

$x = 90$

x = 90

$x = 90$

解题步骤 3.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从

360

$360$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

x = 360 - 90

$x = 360 - 90$

解题步骤 3.2.4

从

360

$360$ 中减去

90

$90$ 。

x = 270

$x = 270$

解题步骤 3.2.5

求

cos (x)

$\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.5.1

函数的周期可利用

\frac{360}{| b |}

$\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

\frac{360}{| b |}

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 3.2.5.2

使用周期公式中的

1

$1$ 替换

b

$b$ 。

\frac{360}{| 1 |}

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\frac{360}{1}

$\frac{360}{1}$

解题步骤 3.2.5.4

用

360

$360$ 除以

1

$1$ 。

360

$360$

360

$360$

解题步骤 3.2.6

cos (x)

$\cos (x)$ 函数的周期为

360

$360$ ，所以函数值在两个方向上每隔

360

$360$ 度数重复出现。

x = 90 + 360 n, 270 + 360 n

$x = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = 90 + 360 n, 270 + 360 n

$x = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = 90 + 360 n, 270 + 360 n

$x = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 4

将

4 sin (x) + 1

$4 \sin (x) + 1$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 4.1

将

4 sin (x) + 1

$4 \sin (x) + 1$ 设为等于

0

$0$ 。

4 sin (x) + 1 = 0

$4 \sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解

x

$x$ 的

4 sin (x) + 1 = 0

$4 \sin (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去

1

$1$ 。

4 sin (x) = - 1

$4 \sin (x) = - 1$

解题步骤 4.2.2

将

4 sin (x) = - 1

$4 \sin (x) = - 1$ 中的每一项除以

4

$4$ 并化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将

4 sin (x) = - 1

$4 \sin (x) = - 1$ 中的每一项都除以

4

$4$ 。

\frac{4 sin (x)}{4} = \frac{- 1}{4}

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.2.1

约去

4

$4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 4.2.2.2.1.2

用

$\sin (x)$ 除以

$1$ 。

$\sin (x) = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin (x) = - \frac{1}{4}$

解题步骤 4.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的

$x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{1}{4})$

解题步骤 4.2.4

化简右边。

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解题步骤 4.2.4.1

计算

$\arcsin (- \frac{1}{4})$ 。

$x = - 14.47751218$

解题步骤 4.2.5

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从

$360$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和

$180$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 360 + 14.47751218 + 180$

解题步骤 4.2.6

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 4.2.6.1

从

$360 + 14.47751218 + 180 °$ 中减去

$360 °$ 。

$x = 360 + 14.47751218 + 180 ° - 360 °$

解题步骤 4.2.6.2

得出的角

$194.47751218 °$ 是正角度，比

$360 °$ 小，且与

$360 + 14.47751218 + 180$ 共边。

$x = 194.47751218 °$

解题步骤 4.2.7

求

$\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.7.1

函数的周期可利用

$\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 4.2.7.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 4.2.7.4

用

$360$ 除以

$1$ 。

$360$

解题步骤 4.2.8

将

$360$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 4.2.8.1

将

$360$ 加到

$- 14.47751218$ 以求正角。

$- 14.47751218 + 360$

解题步骤 4.2.8.2

从

$360$ 中减去

$14.47751218$ 。

$345.52248781$

解题步骤 4.2.8.3

列出新角。

$x = 345.52248781$

解题步骤 4.2.9

$\sin (x)$ 函数的周期为

$360$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$360$ 度数重复出现。

$x = 194.47751218 + 360 n, 345.52248781 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 194.47751218 + 360 n, 345.52248781 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 194.47751218 + 360 n, 345.52248781 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 5

最终解为使

$\cos (x) (4 \sin (x) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 194.47751218 + 360 n, 345.52248781 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 6

将

$90 + 360 n$ 和

$270 + 360 n$ 合并为

$90 + 180 n$ 。

$x = 90 + 180 n, 194.47751218 + 360 n, 345.52248781 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

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