三角学示例

$x^{3} - 2 = (x - \sqrt[3]{2}) (x^{2} + \sqrt[3]{2} x + \sqrt[3]{4})$

解题步骤 1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x - \sqrt[3]{2}) (x^{2} + \sqrt[3]{2} x + \sqrt[3]{4})$ 。

$x^{3} - 2 = x \cdot x^{2} + x (\sqrt[3]{2} x) + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} x) - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} - 2 = x^{1} x^{2} + x (\sqrt[3]{2} x) + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} x) - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3} - 2 = x^{1 + 2} + x (\sqrt[3]{2} x) + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} x) - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

解题步骤 2.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x^{3} - 2 = x^{3} + x (\sqrt[3]{2} x) + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} x) - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x \cdot x + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} x) - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

解题步骤 2.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

移动 $x$ 。

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} (x \cdot x) + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} x) - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

解题步骤 2.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} x) - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

解题步骤 2.4

乘以 $- \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} x)$ 。

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解题步骤 2.4.1

对 $\sqrt[3]{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - ({\sqrt[3]{2}}^{1} \sqrt[3]{2}) x - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

解题步骤 2.4.2

对 $\sqrt[3]{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - ({\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{1}) x - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

解题步骤 2.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - {\sqrt[3]{2}}^{1 + 1} x - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

解题步骤 2.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - {\sqrt[3]{2}}^{2} x - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

解题步骤 2.5

将 ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{2^{2}}$ 。

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{2^{2}} x - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

解题步骤 2.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{4} x - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$

解题步骤 2.7

乘以 $- \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}$ 。

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解题步骤 2.7.1

使用根数乘积法则进行合并。

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{4} x - \sqrt[3]{4 \cdot 2}$

解题步骤 2.7.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{4} x - \sqrt[3]{8}$

解题步骤 2.8

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{4} x - \sqrt[3]{2^{3}}$

解题步骤 2.9

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{4} x - 1 \cdot 2$

解题步骤 2.10

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x^{3} - 2 = x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{4} x - 2$

解题步骤 3

合并 $x^{3} + \sqrt[3]{2} x^{2} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} x^{2} - \sqrt[3]{4} x - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 3.1

从 $\sqrt[3]{2} x^{2}$ 中减去 $\sqrt[3]{2} x^{2}$ 。

$x^{3} - 2 = x^{3} + x \sqrt[3]{4} + 0 - \sqrt[3]{4} x - 2$

解题步骤 3.2

将 $x^{3} + x \sqrt[3]{4}$ 和 $0$ 相加。

$x^{3} - 2 = x^{3} + x \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{4} x - 2$

解题步骤 3.3

按照 $x \sqrt[3]{4}$ 和 $- \sqrt[3]{4} x$ 重新排列因数。

$x^{3} - 2 = x^{3} + x \sqrt[3]{4} - x \sqrt[3]{4} - 2$

解题步骤 3.4

从 $x \sqrt[3]{4}$ 中减去 $x \sqrt[3]{4}$ 。

$x^{3} - 2 = x^{3} + 0 - 2$

解题步骤 3.5

将 $x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$x^{3} - 2 = x^{3} - 2$

解题步骤 4

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$x^{3} - 2 = (x - \sqrt[3]{2}) (x^{2} + \sqrt[3]{2} x + \sqrt[3]{4})$ 是一个恒等式。

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