三角学示例

$\sec (x) = - \frac{5}{2}$ , $\tan (x) < 0$

解题步骤 1

The tangent function is negative in the second and fourth quadrants. The secant function is negative in the second and third quadrants. The set of solutions for $x$ are limited to the second quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

解位于第二象限。

解题步骤 2

使用正割的定义求单位圆直角三角形的已知边。象限将决定每一个值的符号。

$\sec (x) = \frac{斜边}{相邻}$

解题步骤 3

求单位圆三角形的对边。因为已知邻边和斜边，可以使用勾股定理求第三边。

$取反 = \sqrt{{斜边}^{2} - {相邻}^{2}}$

解题步骤 4

替换方程中的已知值。

$取反 = \sqrt{{(5)}^{2} - {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 5

化简根式内部。

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解题步骤 5.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

对边 $= \sqrt{25 - {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

对边 $= \sqrt{25 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 5.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

对边 $= \sqrt{25 - 4}$

解题步骤 5.4

从 $25$ 中减去 $4$ 。

对边 $= \sqrt{21}$

解题步骤 6

求正弦值。

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解题步骤 6.1

使用正弦的定义求 $\sin (x)$ 的值。

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

解题步骤 6.2

代入已知值。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{21}}{5}$

解题步骤 7

求余弦值。

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解题步骤 7.1

使用余弦的定义求 $\cos (x)$ 的值。

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

解题步骤 7.2

代入已知值。

$\cos (x) = \frac{- 2}{5}$

解题步骤 7.3

将负号移到分数的前面。

$\cos (x) = - \frac{2}{5}$

解题步骤 8

求正切值。

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解题步骤 8.1

使用正切的定义求 $\tan (x)$ 的值。

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

解题步骤 8.2

代入已知值。

$\tan (x) = \frac{\sqrt{21}}{- 2}$

解题步骤 8.3

将负号移到分数的前面。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{21}}{2}$

解题步骤 9

求余切值。

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解题步骤 9.1

使用余切的定义求 $\cot (x)$ 的值。

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

解题步骤 9.2

代入已知值。

$\cot (x) = \frac{- 2}{\sqrt{21}}$

解题步骤 9.3

化简 $\cot (x)$ 的值。

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解题步骤 9.3.1

将负号移到分数的前面。

$\cot (x) = - \frac{2}{\sqrt{21}}$

解题步骤 9.3.2

将 $\frac{2}{\sqrt{21}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ 。

$\cot (x) = - (\frac{2}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}})$

解题步骤 9.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 9.3.3.1

将 $\frac{2}{\sqrt{21}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ 。

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

解题步骤 9.3.3.2

对 $\sqrt{21}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

解题步骤 9.3.3.3

对 $\sqrt{21}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

解题步骤 9.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}}$

解题步骤 9.3.3.6

将 ${\sqrt{21}}^{2}$ 重写为 $21$ 。

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解题步骤 9.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{21}$ 重写成 $21^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{21}}{21}$

解题步骤 9.3.3.6.5

计算指数。

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{21}}{21}$

解题步骤 10

求余割值。

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解题步骤 10.1

使用余割的定义求 $\csc (x)$ 的值。

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

解题步骤 10.2

代入已知值。

$\csc (x) = \frac{5}{\sqrt{21}}$

解题步骤 10.3

化简 $\csc (x)$ 的值。

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解题步骤 10.3.1

将 $\frac{5}{\sqrt{21}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ 。

$\csc (x) = \frac{5}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$

解题步骤 10.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 10.3.2.1

将 $\frac{5}{\sqrt{21}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ 。

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

解题步骤 10.3.2.2

对 $\sqrt{21}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

解题步骤 10.3.2.3

对 $\sqrt{21}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

解题步骤 10.3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}$

解题步骤 10.3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}}$

解题步骤 10.3.2.6

将 ${\sqrt{21}}^{2}$ 重写为 $21$ 。

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解题步骤 10.3.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{21}$ 重写成 $21^{\frac{1}{2}}$ 。

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 10.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 10.3.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 10.3.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.2.6.4.1

约去公因数。

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 10.3.2.6.4.2

重写表达式。

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{21}}{21}$

解题步骤 10.3.2.6.5

计算指数。

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{21}}{21}$

解题步骤 11

这是各个三角函数值的解。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$\cos (x) = - \frac{2}{5}$

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{21}}{2}$

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{21}}{21}$

$\sec (x) = - \frac{5}{2}$

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{21}}{21}$

三角学 示例

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