三角学示例

$\cos^{2} (θ) + \cos (θ) = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

使 $u = \cos (θ)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\cos (θ)$ 。

$u^{2} + u = 0$

解题步骤 1.2

从 $u^{2} + u$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot u + u = 0$

解题步骤 1.2.2

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$u \cdot u + u = 0$

解题步骤 1.2.3

从 $u^{1}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot u + u \cdot 1 = 0$

解题步骤 1.2.4

从 $u \cdot u + u \cdot 1$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (u + 1) = 0$

解题步骤 1.3

使用 $\cos (θ)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (θ) (\cos (θ) + 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (θ) = 0$

$\cos (θ) + 1 = 0$

解题步骤 3

将 $\cos (θ)$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\cos (θ)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (θ) = 0$

解题步骤 3.2

求解 $θ$ 的 $\cos (θ) = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $θ$ 。

$θ = \arccos (0)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $90$ 。

$θ = 90$

解题步骤 3.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $360$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$θ = 360 - 90$

解题步骤 3.2.4

从 $360$ 中减去 $90$ 。

$θ = 270$

解题步骤 3.2.5

求 $\cos (θ)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 3.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 3.2.5.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 3.2.6

$\cos (θ)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

将 $\cos (θ) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\cos (θ) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (θ) + 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $θ$ 的 $\cos (θ) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\cos (θ) = - 1$

解题步骤 4.2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $θ$ 。

$θ = \arccos (- 1)$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

$\arccos (- 1)$ 的准确值为 $180$ 。

$θ = 180$

解题步骤 4.2.4

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $360$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$θ = 360 - 180$

解题步骤 4.2.5

从 $360$ 中减去 $180$ 。

$θ = 180$

解题步骤 4.2.6

求 $\cos (θ)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 4.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 4.2.6.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 4.2.7

$\cos (θ)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$θ = 180 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

最终解为使 $\cos (θ) (\cos (θ) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 180 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $90 + 360 n$ 和 $270 + 360 n$ 合并为 $90 + 180 n$ 。

$θ = 90 + 180 n, 180 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

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