三角学示例

$2 \cos^{2} (2 θ) = 1 - \cos (2 θ)$

解题步骤 1

代入 $u$ 替换 $\cos (2 θ)$ 。

$2 {(u)}^{2} = 1 - (u)$

解题步骤 2

在等式两边都加上 $u$ 。

$2 u^{2} + u = 1$

解题步骤 3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 u^{2} + u - 1 = 0$

解题步骤 4

分组因式分解。

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解题步骤 4.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 并且它们的和为 $b = 1$ 。

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解题步骤 4.1.1

乘以 $1$ 。

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

解题步骤 4.1.2

把 $1$ 重写为 $- 1$ 加 $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

解题步骤 4.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

解题步骤 4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

解题步骤 4.3

通过因式分解出最大公因数 $2 u - 1$ 来因式分解多项式。

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

解题步骤 6

将 $2 u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 6.1

将 $2 u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 u - 1 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $u$ 的 $2 u - 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 u = 1$

解题步骤 6.2.2

将 $2 u = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $2 u = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{1}{2}$

解题步骤 7

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 7.1

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

解题步骤 7.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 8

最终解为使 $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = \frac{1}{2}, - 1$

解题步骤 9

代入 $\cos (2 θ)$ 替换 $u$ 。

$\cos (2 θ) = \frac{1}{2}, - 1$

解题步骤 10

建立每一个解以求解 $θ$ 。

$\cos (2 θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (2 θ) = - 1$

解题步骤 11

在 $\cos (2 θ) = \frac{1}{2}$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 11.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $θ$ 。

$2 θ = \arccos (\frac{1}{2})$

解题步骤 11.2

化简右边。

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解题步骤 11.2.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $60$ 。

$2 θ = 60$

解题步骤 11.3

将 $2 θ = 60$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 11.3.1

将 $2 θ = 60$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{60}{2}$

解题步骤 11.3.2

化简左边。

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解题步骤 11.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{60}{2}$

解题步骤 11.3.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{60}{2}$

解题步骤 11.3.3

化简右边。

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解题步骤 11.3.3.1

用 $60$ 除以 $2$ 。

$θ = 30$

解题步骤 11.4

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $360$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$2 θ = 360 - 60$

解题步骤 11.5

求解 $θ$ 。

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解题步骤 11.5.1

从 $360$ 中减去 $60$ 。

$2 θ = 300$

解题步骤 11.5.2

将 $2 θ = 300$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 11.5.2.1

将 $2 θ = 300$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{300}{2}$

解题步骤 11.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 11.5.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{300}{2}$

解题步骤 11.5.2.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{300}{2}$

解题步骤 11.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 11.5.2.3.1

用 $300$ 除以 $2$ 。

$θ = 150$

解题步骤 11.6

求 $\cos (2 θ)$ 的周期。

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解题步骤 11.6.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 11.6.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 2 |}$

解题步骤 11.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{360}{2}$

解题步骤 11.6.4

用 $360$ 除以 $2$ 。

$180$

解题步骤 11.7

$\cos (2 θ)$ 函数的周期为 $180$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $180$ 度数重复出现。

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12

在 $\cos (2 θ) = - 1$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 12.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $θ$ 。

$2 θ = \arccos (- 1)$

解题步骤 12.2

化简右边。

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解题步骤 12.2.1

$\arccos (- 1)$ 的准确值为 $180$ 。

$2 θ = 180$

解题步骤 12.3

将 $2 θ = 180$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 12.3.1

将 $2 θ = 180$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

解题步骤 12.3.2

化简左边。

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解题步骤 12.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

解题步骤 12.3.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{180}{2}$

解题步骤 12.3.3

化简右边。

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解题步骤 12.3.3.1

用 $180$ 除以 $2$ 。

$θ = 90$

解题步骤 12.4

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $360$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$2 θ = 360 - 180$

解题步骤 12.5

求解 $θ$ 。

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解题步骤 12.5.1

从 $360$ 中减去 $180$ 。

$2 θ = 180$

解题步骤 12.5.2

将 $2 θ = 180$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 12.5.2.1

将 $2 θ = 180$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

解题步骤 12.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 12.5.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

解题步骤 12.5.2.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{180}{2}$

解题步骤 12.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 12.5.2.3.1

用 $180$ 除以 $2$ 。

$θ = 90$

解题步骤 12.6

求 $\cos (2 θ)$ 的周期。

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解题步骤 12.6.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 12.6.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 2 |}$

解题步骤 12.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{360}{2}$

解题步骤 12.6.4

用 $360$ 除以 $2$ 。

$180$

解题步骤 12.7

$\cos (2 θ)$ 函数的周期为 $180$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $180$ 度数重复出现。

$θ = 90 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

列出所有解。

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n, 90 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 14

合并答案。

$θ = 30 + 60 n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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