三角学示例

$\frac{6 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

解题步骤 1

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1

从 $6 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

解题步骤 1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{3 (2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6})}$

解题步骤 2

对 $\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{0.8660254 + 0.5 i}$ 的分子和分母乘以 $0.8660254 + 0.5 i$ 的共轭以使分母变为实数。

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{0.8660254 + 0.5 i} \cdot \frac{0.8660254 - 0.5 i}{0.8660254 - 0.5 i}$

解题步骤 3

乘。

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解题步骤 3.1

合并。

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.2

化简分子。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.2.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{2 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.2.1.3

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{2 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.2.2

运用分配律。

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1

约去公因数。

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.2.3.2

重写表达式。

$\frac{(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.1

约去公因数。

$\frac{(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.2.4.2

重写表达式。

$\frac{(1 + i \sqrt{3}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.2.5

使用 FOIL 方法展开 $(1 + i \sqrt{3}) (0.8660254 - 0.5 i)$ 。

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解题步骤 3.2.5.1

运用分配律。

$\frac{1 (0.8660254 - 0.5 i) + i \sqrt{3} (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.2.5.2

运用分配律。

$\frac{1 \cdot 0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.2.5.3

运用分配律。

$\frac{1 \cdot 0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.2.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.6.1.1

将 $0.8660254$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.2.6.1.2

将 $- 0.5 i$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.2.6.1.3

将 $0.8660254$ 乘以 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + i \cdot 1.5 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.2.6.1.4

将 $1.5$ 移到 $i$ 的左侧。

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 \cdot i + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.2.6.1.5

乘以 $i \sqrt{3} (- 0.5 i)$ 。

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解题步骤 3.2.6.1.5.1

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 (i^{1} i))}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.2.6.1.5.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 (i^{1} i^{1}))}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.2.6.1.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 i^{1 + 1})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.2.6.1.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 i^{2})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.2.6.1.5.5

将 $- 0.5$ 乘以 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i - 0.8660254 i^{2}}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.2.6.1.6

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i - 0.8660254 \cdot - 1}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.2.6.1.7

将 $- 0.8660254$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + 0.8660254}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.2.6.2

将 $0.8660254$ 和 $0.8660254$ 相加。

$\frac{1.7320508 - 0.5 i + 1.5 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.2.6.3

将 $- 0.5 i$ 和 $1.5 i$ 相加。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.3

化简分母。

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解题步骤 3.3.1

使用 FOIL 方法展开 $(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

运用分配律。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 (0.8660254 - 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.3.1.2

运用分配律。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

解题步骤 3.3.2

化简。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $0.8660254$ 乘以 $0.8660254$ 。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 0.5$ 乘以 $0.8660254$ 。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

解题步骤 3.3.2.3

将 $0.8660254$ 乘以 $0.5$ 。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i + 0.5 i (- 0.5 i)}$

解题步骤 3.3.2.4

将 $- 0.5$ 乘以 $0.5$ 。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i i}$

解题步骤 3.3.2.5

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i)}$

解题步骤 3.3.2.6

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i^{1})}$

解题步骤 3.3.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{1 + 1}}$

解题步骤 3.3.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{2}}$

解题步骤 3.3.2.9

将 $- 0.4330127 i$ 和 $0.4330127 i$ 相加。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 i - 0.25 i^{2}}$

解题步骤 3.3.3

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $0$ 乘以 $i$ 。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 - 0.25 i^{2}}$

解题步骤 3.3.3.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 - 0.25 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.3.3

将 $- 0.25$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 + 0.25}$

解题步骤 3.3.4

将 $0.75$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0.25}$

解题步骤 3.3.5

将 $0.75$ 和 $0.25$ 相加。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

解题步骤 4

将 $1.7320508$ 重写为 $1 (1.7320508)$ 。

$\frac{1 (1.7320508) + 1 i}{1}$

解题步骤 5

从 $1 i$ 中分解出因数 $1$ 。

$\frac{1 (1.7320508) + 1 (1 i)}{1}$

解题步骤 6

从 $1 (1.7320508) + 1 (1 i)$ 中分解出因数 $1$ 。

$\frac{1 (1.7320508 + 1 i)}{1}$

解题步骤 7

从 $1$ 中分解出因数 $1$ 。

$\frac{1 (1.7320508 + 1 i)}{1 (1)}$

解题步骤 8

分离分数。

$\frac{1}{1} \cdot \frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

解题步骤 9

化简表达式。

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解题步骤 9.1

用 $1$ 除以 $1$ 。

$1 \frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

解题步骤 9.2

用 $1.7320508 + 1 i$ 除以 $1$ 。

$1 (1.7320508 + 1 i)$

解题步骤 10

运用分配律。

$1 \cdot 1.7320508 + 1 (1 i)$

解题步骤 11

乘。

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解题步骤 11.1

将 $1$ 乘以 $1.7320508$ 。

$1.7320508 + 1 (1 i)$

解题步骤 11.2

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1.7320508 + 1 i$

解题步骤 12

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 13

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 14

代入 $a = 1.7320508$ 和 $b = 1$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{1^{2} + {1.7320508}^{2}}$

解题步骤 15

求 $| z |$ 。

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解题步骤 15.1

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{1 + {1.7320508}^{2}}$

解题步骤 15.2

对 $1.7320508$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{1 + 3}$

解题步骤 15.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$| z | = \sqrt{4}$

解题步骤 15.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 15.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 2$

解题步骤 16

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{1}{1.7320508})$

解题步骤 17

因为 $\frac{1}{1.7320508}$ 的反正切得出位于第一象限的一个角，所以其角度为 $\frac{π}{6}$ 。

$θ = \frac{π}{6}$

解题步骤 18

代入 $θ = \frac{π}{6}$ 和 $| z | = 2$ 的值。

$2 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

三角学 示例

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