三角学示例

$\tan (x) + \cot (x) = \sec (x) \csc (x)$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) = \sec (x) \csc (x)$

解题步骤 1.1.2

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sec (x) \csc (x)$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

化简 $\sec (x) \csc (x)$ 。

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解题步骤 2.1.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos (x)} \csc (x)$

解题步骤 2.1.2

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 2.1.3

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 3

等式两边同时乘以 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 4

运用分配律。

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.1

约去公因数。

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5.2

重写表达式。

$\sin (x) + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 6

乘以 $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 6.1

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 6.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 6.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x) + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 7

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

从 $\cos (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) (\sin (x))}$

解题步骤 7.2

约去公因数。

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 7.3

重写表达式。

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 8

从等式两边同时减去 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} = 0$

解题步骤 9

化简 $\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 9.1

在公分母上合并分子。

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x) - 1}{\sin (x)} = 0$

解题步骤 9.2

将 $\cos^{2} (x)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\sin (x) + \frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x)} = 0$

解题步骤 9.3

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\sin (x) + \frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin (x)} = 0$

解题步骤 9.4

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\sin (x) + \frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)} = 0$

解题步骤 9.5

从 $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\sin (x) + \frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)} = 0$

解题步骤 9.6

将 $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ 重写为 $- (1 - \cos^{2} (x))$ 。

$\sin (x) + \frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)} = 0$

解题步骤 9.7

使用勾股恒等式。

$\sin (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\sin (x)} = 0$

解题步骤 9.8

约去 $\sin^{2} (x)$ 和 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 9.8.1

从 $- \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) + \frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x)} = 0$

解题步骤 9.8.2

约去公因数。

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解题步骤 9.8.2.1

乘以 $1$ 。

$\sin (x) + \frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} = 0$

解题步骤 9.8.2.2

约去公因数。

$\sin (x) + \frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} = 0$

解题步骤 9.8.2.3

重写表达式。

$\sin (x) + \frac{- \sin (x)}{1} = 0$

解题步骤 9.8.2.4

用 $- \sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 9.9

从 $\sin (x)$ 中减去 $\sin (x)$ 。

$0 = 0$

解题步骤 10

因为 $0 = 0$ ，所以方程将恒成立。

总为真

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