三角学示例

$\cot^{2} (θ) - 9 = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $9$ 。

$\cot^{2} (θ) = 9$

解题步骤 2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\cot (θ) = \pm \sqrt{9}$

解题步骤 3

化简 $\pm \sqrt{9}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\cot (θ) = \pm \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\cot (θ) = \pm 3$

解题步骤 4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cot (θ) = 3$

解题步骤 4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cot (θ) = - 3$

解题步骤 4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cot (θ) = 3, - 3$

解题步骤 5

建立每一个解以求解 $θ$ 。

$\cot (θ) = 3$

$\cot (θ) = - 3$

解题步骤 6

在 $\cot (θ) = 3$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 6.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $θ$ 。

$θ = arccot (3)$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

计算 $arccot (3)$ 。

$θ = 18.43494882$

解题步骤 6.3

余切函数在第一象限和第三象限恒为正。要求第二个解，从 $180$ 中减去参考角即可求得第四象限的解。

$θ = 180 + 18.43494882$

解题步骤 6.4

将 $180$ 和 $18.43494882$ 相加。

$θ = 198.43494882$

解题步骤 6.5

求 $\cot (θ)$ 的周期。

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解题步骤 6.5.1

函数的周期可利用 $\frac{180}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{180}{| b |}$

解题步骤 6.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{180}{| 1 |}$

解题步骤 6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{180}{1}$

解题步骤 6.5.4

用 $180$ 除以 $1$ 。

$180$

解题步骤 6.6

$\cot (θ)$ 函数的周期为 $180$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $180$ 度数重复出现。

$θ = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

在 $\cot (θ) = - 3$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 7.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $θ$ 。

$θ = arccot (- 3)$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

计算 $arccot (- 3)$ 。

$θ = 161.56505117$

解题步骤 7.3

余切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $180$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$θ = 161.56505117 - 180$

解题步骤 7.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 7.4.1

将 $360 °$ 加上 $161.56505117 - 180 °$ 。

$θ = 161.56505117 - 180 ° + 360 °$

解题步骤 7.4.2

得出的角 $341.56505117 °$ 是正角度且与 $161.56505117 - 180$ 共边。

$θ = 341.56505117 °$

解题步骤 7.5

求 $\cot (θ)$ 的周期。

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解题步骤 7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{180}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{180}{| b |}$

解题步骤 7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{180}{| 1 |}$

解题步骤 7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{180}{1}$

解题步骤 7.5.4

用 $180$ 除以 $1$ 。

$180$

解题步骤 7.6

$\cot (θ)$ 函数的周期为 $180$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $180$ 度数重复出现。

$θ = 161.56505117 + 180 n, 341.56505117 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

列出所有解。

$θ = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n, 161.56505117 + 180 n, 341.56505117 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

合并解集。

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解题步骤 9.1

将 $18.43494882 + 180 n$ 和 $198.43494882 + 180 n$ 合并为 $18.43494882 + 180 n$ 。

$θ = 18.43494882 + 180 n, 161.56505117 + 180 n, 341.56505117 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9.2

将 $161.56505117 + 180 n$ 和 $341.56505117 + 180 n$ 合并为 $161.56505117 + 180 n$ 。

$θ = 18.43494882 + 180 n, 161.56505117 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

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