三角学示例

$(- \frac{\sqrt{5}}{3}, - \frac{2}{3})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(- \frac{\sqrt{5}}{3}, - \frac{2}{3})$ 之间）之间的 $\csc (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(- \frac{\sqrt{5}}{3}, 0)$ 和 $(- \frac{\sqrt{5}}{3}, - \frac{2}{3})$ 三点之间的三角形。

取反： $- \frac{2}{3}$

邻边： $- \frac{\sqrt{5}}{3}$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.1

对 $- \frac{\sqrt{5}}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{3})}^{2} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

对 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{1 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{5^{1}}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{5}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 2.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{5}{9} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 2.5

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.5.1

对 $- \frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{5}{9} + {(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}$

解题步骤 2.5.2

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{5}{9} + {(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 2.6

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{5}{9} + 1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 2.7

将 $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 2.8

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{4}{3^{2}}}$

解题步骤 2.9

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{4}{9}}$

解题步骤 2.10

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{5 + 4}{9}}$

解题步骤 2.11

将 $5$ 和 $4$ 相加。

$\sqrt{\frac{9}{9}}$

解题步骤 2.12

用 $9$ 除以 $9$ 。

$\sqrt{1}$

解题步骤 2.13

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$1$

解题步骤 3

因为 $\csc (θ) = \frac{斜边}{取反}$ ，所以 $\csc (θ) = \frac{1}{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{1}{- \frac{2}{3}}$

解题步骤 4

化简 $\csc (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\csc (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{2}{3}}$

解题步骤 4.1.2

将负号移到分数的前面。

$\csc (θ) = - \frac{1}{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$\csc (θ) = - (1 (\frac{3}{2}))$

解题步骤 4.3

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\csc (θ) = - \frac{3}{2}$

解题步骤 5

求近似值。

$\csc (θ) = - \frac{3}{2} \approx - 1.5$

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