三角学示例

sec (θ) = \sqrt{3}

$\sec (θ) = \sqrt{3}$

解题步骤 1

使用正割的定义求单位圆直角三角形的已知边。象限将决定每一个值的符号。

$\sec (θ) = \frac{斜边}{相邻}$

解题步骤 2

求单位圆三角形的对边。因为已知邻边和斜边，可以使用勾股定理求第三边。

$取反 = - \sqrt{{斜边}^{2} - {相邻}^{2}}$

解题步骤 3

替换方程中的已知值。

$取反 = - \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} - {(1)}^{2}}$

解题步骤 4

化简根式内部。

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解题步骤 4.1

对

$\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} - {(1)}^{2}}$ 取反。

对边

$= - \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} - {(1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

将

${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为

$3$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{3}$ 重写成

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

对边

$= - \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(1)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

对边

$= - \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(1)}^{2}}$

解题步骤 4.2.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

对边

$= - \sqrt{3^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

解题步骤 4.2.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

约去公因数。

对边

$= - \sqrt{3^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

解题步骤 4.2.4.2

重写表达式。

对边

$= - \sqrt{3 - {(1)}^{2}}$

对边

$= - \sqrt{3 - {(1)}^{2}}$

解题步骤 4.2.5

计算指数。

对边

$= - \sqrt{3 - {(1)}^{2}}$

对边

$= - \sqrt{3 - {(1)}^{2}}$

解题步骤 4.3

一的任意次幂都为一。

对边

$= - \sqrt{3 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 4.4

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

对边

$= - \sqrt{3 - 1}$

解题步骤 4.5

从

$3$ 中减去

$1$ 。

对边

$= - \sqrt{2}$

对边

$= - \sqrt{2}$

解题步骤 5

求正弦值。

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解题步骤 5.1

使用正弦的定义求

$\sin (θ)$ 的值。

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

解题步骤 5.2

代入已知值。

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.3

化简

$\sin (θ)$ 的值。

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解题步骤 5.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.3.2

将

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\sin (θ) = - (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

解题步骤 5.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 5.3.3.1

将

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.3.3.2

对

$\sqrt{3}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.3.3.3

对

$\sqrt{3}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.3.3.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.3.3.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 5.3.3.6

将

${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为

$3$ 。

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解题步骤 5.3.3.6.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{3}$ 重写成

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.3.3.6.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.3.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.3.3.6.5

计算指数。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.3.4

化简分子。

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解题步骤 5.3.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

解题步骤 5.3.4.2

将

$2$ 乘以

$3$ 。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

解题步骤 6

求余弦值。

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解题步骤 6.1

使用余弦的定义求

$\cos (θ)$ 的值。

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

解题步骤 6.2

代入已知值。

$\cos (θ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 6.3

化简

$\cos (θ)$ 的值。

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解题步骤 6.3.1

将

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 6.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 6.3.2.1

将

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.3.2.2

对

$\sqrt{3}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.3.2.3

对

$\sqrt{3}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.3.2.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 6.3.2.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 6.3.2.6

将

${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为

$3$ 。

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解题步骤 6.3.2.6.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{3}$ 重写成

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 6.3.2.6.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.3.2.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.6.4.1

约去公因数。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.3.2.6.4.2

重写表达式。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 6.3.2.6.5

计算指数。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 7

求正切值。

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解题步骤 7.1

使用正切的定义求

$\tan (θ)$ 的值。

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

解题步骤 7.2

代入已知值。

$\tan (θ) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

解题步骤 7.3

用

$- \sqrt{2}$ 除以

$1$ 。

$\tan (θ) = - \sqrt{2}$

解题步骤 8

求余切值。

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解题步骤 8.1

使用余切的定义求

$\cot (θ)$ 的值。

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

解题步骤 8.2

代入已知值。

$\cot (θ) = \frac{1}{- \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3

化简

$\cot (θ)$ 的值。

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解题步骤 8.3.1

约去

$1$ 和

$- 1$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1

将

$1$ 重写为

$- 1 (- 1)$ 。

$\cot (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$\cot (θ) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.2

将

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\cot (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 8.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 8.3.3.1

将

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.3.2

对

$\sqrt{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.3.3

对

$\sqrt{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.3.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.3.3.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 8.3.3.6

将

${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为

$2$ 。

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解题步骤 8.3.3.6.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{2}$ 重写成

$2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.3.3.6.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.3.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 8.3.3.6.5

计算指数。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 9

求余割值。

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解题步骤 9.1

使用余割的定义求

$\csc (θ)$ 的值。

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

解题步骤 9.2

代入已知值。

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{3}}{- \sqrt{2}}$

解题步骤 9.3

化简

$\csc (θ)$ 的值。

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解题步骤 9.3.1

将负号移到分数的前面。

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 9.3.2

将

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\csc (θ) = - (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 9.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 9.3.3.1

将

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 9.3.3.2

对

$\sqrt{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 9.3.3.3

对

$\sqrt{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 9.3.3.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.3.3.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 9.3.3.6

将

${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为

$2$ 。

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解题步骤 9.3.3.6.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{2}$ 重写成

$2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.3.3.6.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 9.3.3.6.5

计算指数。

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 9.3.4

化简分子。

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解题步骤 9.3.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

解题步骤 9.3.4.2

将

$3$ 乘以

$2$ 。

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

解题步骤 10

这是各个三角函数值的解。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan (θ) = - \sqrt{2}$

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sec (θ) = \sqrt{3}$

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

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