三角学示例

$(\frac{\sqrt{2}}{3}, - \frac{\sqrt{7}}{3})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(\frac{\sqrt{2}}{3}, - \frac{\sqrt{7}}{3})$ 之间）之间的 $\cot (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(\frac{\sqrt{2}}{3}, 0)$ 和 $(\frac{\sqrt{2}}{3}, - \frac{\sqrt{7}}{3})$ 三点之间的三角形。

取反： $- \frac{\sqrt{7}}{3}$

邻边： $\frac{\sqrt{2}}{3}$

解题步骤 2

因为 $\cot (θ) = \frac{邻边}{取反}$ ，所以 $\cot (θ) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{3}}{- \frac{\sqrt{7}}{3}}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{3}}{- \frac{\sqrt{7}}{3}}$

解题步骤 3

化简 $\cot (θ)$ 。

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解题步骤 3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot (- \frac{3}{\sqrt{7}})$

解题步骤 3.2

化简项。

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解题步骤 3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $- \frac{3}{\sqrt{7}}$ 中前置负号移到分子中。

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{- 3}{\sqrt{7}}$

解题步骤 3.2.1.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{3 (- 1)}{\sqrt{7}}$

解题步骤 3.2.1.3

约去公因数。

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{3 \cdot - 1}{\sqrt{7}}$

解题步骤 3.2.1.4

重写表达式。

$\cot (θ) = \sqrt{2} (\frac{- 1}{\sqrt{7}})$

解题步骤 3.2.2

组合 $\sqrt{2}$ 和 $\frac{- 1}{\sqrt{7}}$ 。

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2} \cdot - 1}{\sqrt{7}}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 1$ 移到 $\sqrt{2}$ 的左侧。

$\cot (θ) = \frac{- 1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{7}}$

解题步骤 3.3.2

将 $- 1 \sqrt{2}$ 重写为 $- \sqrt{2}$ 。

$\cot (θ) = \frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{7}}$

解题步骤 3.4

将负号移到分数的前面。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$

解题步骤 3.5

将 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$\cot (θ) = - (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

解题步骤 3.6

合并和化简分母。

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解题步骤 3.6.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

解题步骤 3.6.2

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

解题步骤 3.6.3

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

解题步骤 3.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

解题步骤 3.6.6

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 3.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.6.4.1

约去公因数。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.6.6.4.2

重写表达式。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{7}}{7}$

解题步骤 3.6.6.5

计算指数。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{7}}{7}$

解题步骤 3.7

化简分子。

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解题步骤 3.7.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2 \cdot 7}}{7}$

解题步骤 3.7.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{14}}{7}$

解题步骤 4

求近似值。

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{14}}{7} \approx - 0.53452248$

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