三角学示例

$4 \csc^{2} (θ) - 25 = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上

$25$ 。

$4 \csc^{2} (θ) = 25$

解题步骤 2

将

$4 \csc^{2} (θ) = 25$ 中的每一项除以

$4$ 并化简。

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解题步骤 2.1

将

$4 \csc^{2} (θ) = 25$ 中的每一项都除以

$4$ 。

$\frac{4 \csc^{2} (θ)}{4} = \frac{25}{4}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

约去

$4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 \csc^{2} (θ)}{4} = \frac{25}{4}$

解题步骤 2.2.1.2

用

$\csc^{2} (θ)$ 除以

$1$ 。

$\csc^{2} (θ) = \frac{25}{4}$

解题步骤 3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\csc (θ) = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

解题步骤 4

化简

$\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ 。

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解题步骤 4.1

将

$\sqrt{\frac{25}{4}}$ 重写为

$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ 。

$\csc (θ) = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 4.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.1

将

$25$ 重写为

$5^{2}$ 。

$\csc (θ) = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 4.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\csc (θ) = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

解题步骤 4.3

化简分母。

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解题步骤 4.3.1

将

$4$ 重写为

$2^{2}$ 。

$\csc (θ) = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 4.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\csc (θ) = \pm \frac{5}{2}$

解题步骤 5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.1

首先，利用

$\pm$ 的正值求第一个解。

$\csc (θ) = \frac{5}{2}$

解题步骤 5.2

下一步，使用

$\pm$ 的负值来求第二个解。

$\csc (θ) = - \frac{5}{2}$

解题步骤 5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\csc (θ) = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

解题步骤 6

建立每一个解以求解

$θ$ 。

$\csc (θ) = \frac{5}{2}$

$\csc (θ) = - \frac{5}{2}$

解题步骤 7

在

$\csc (θ) = \frac{5}{2}$ 中求解

$θ$ 。

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解题步骤 7.1

取等式两边的反余割以从余割中提出

$θ$ 。

$θ = arccsc (\frac{5}{2})$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

计算

$arccsc (\frac{5}{2})$ 。

$θ = 23.57817847$

解题步骤 7.3

余割函数在第一和第二象限为正值。要求第二个解，应从

$180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$θ = 180 - 23.57817847$

解题步骤 7.4

从

$180$ 中减去

$23.57817847$ 。

$θ = 156.42182152$

解题步骤 7.5

求

$\csc (θ)$ 的周期。

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解题步骤 7.5.1

函数的周期可利用

$\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 7.5.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 7.5.4

用

$360$ 除以

$1$ 。

$360$

解题步骤 7.6

$\csc (θ)$ 函数的周期为

$360$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$360$ 度数重复出现。

$θ = 23.57817847 + 360 n, 156.42182152 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

$θ = 23.57817847 + 360 n, 156.42182152 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 8

在

$\csc (θ) = - \frac{5}{2}$ 中求解

$θ$ 。

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解题步骤 8.1

取等式两边的反余割以从余割中提出

$θ$ 。

$θ = arccsc (- \frac{5}{2})$

解题步骤 8.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.1

计算

$arccsc (- \frac{5}{2})$ 。

$θ = - 23.57817847$

解题步骤 8.3

余割函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从

$360$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和

$180$ 相加以求第三象限中的解。

$θ = 360 + 23.57817847 + 180$

解题步骤 8.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 8.4.1

从

$360 + 23.57817847 + 180 °$ 中减去

$360 °$ 。

$θ = 360 + 23.57817847 + 180 ° - 360 °$

解题步骤 8.4.2

得出的角

$203.57817847 °$ 是正角度，比

$360 °$ 小，且与

$360 + 23.57817847 + 180$ 共边。

$θ = 203.57817847 °$

解题步骤 8.5

求

$\csc (θ)$ 的周期。

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解题步骤 8.5.1

函数的周期可利用

$\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 8.5.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 8.5.4

用

$360$ 除以

$1$ 。

$360$

解题步骤 8.6

将

$360$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 8.6.1

将

$360$ 加到

$- 23.57817847$ 以求正角。

$- 23.57817847 + 360$

解题步骤 8.6.2

从

$360$ 中减去

$23.57817847$ 。

$336.42182152$

解题步骤 8.6.3

列出新角。

$θ = 336.42182152$

解题步骤 8.7

$\csc (θ)$ 函数的周期为

$360$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$360$ 度数重复出现。

$θ = 203.57817847 + 360 n, 336.42182152 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

$θ = 203.57817847 + 360 n, 336.42182152 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 9

列出所有解。

$θ = 23.57817847 + 360 n, 156.42182152 + 360 n, 203.57817847 + 360 n, 336.42182152 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 10

合并解集。

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解题步骤 10.1

将

$23.57817847 + 360 n$ 和

$203.57817847 + 360 n$ 合并为

$23.57817847 + 180 n$ 。

$θ = 23.57817847 + 180 n, 156.42182152 + 360 n, 336.42182152 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 10.2

将

$156.42182152 + 360 n$ 和

$336.42182152 + 360 n$ 合并为

$156.42182152 + 180 n$ 。

$θ = 23.57817847 + 180 n, 156.42182152 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

$θ = 23.57817847 + 180 n, 156.42182152 + 180 n$ ，对于任意整数

$n$

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