三角学示例

{sec}^{2} (θ) - 9 sec (θ) + 20 = 0

$\sec^{2} (θ) - 9 \sec (θ) + 20 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

使

u = sec (θ)

$u = \sec (θ)$ 。用

u

$u$ 代入替换所有出现的

sec (θ)

$\sec (θ)$ 。

u^{2} - 9 u + 20 = 0

$u^{2} - 9 u + 20 = 0$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对

u^{2} - 9 u + 20

$u^{2} - 9 u + 20$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为

c

$c$ ，且和为

b

$b$ 。在本例中，其积即为

20

$20$ ，和为

- 9

$- 9$ 。

- 5, - 4

$- 5, - 4$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

(u - 5) (u - 4) = 0

$(u - 5) (u - 4) = 0$

(u - 5) (u - 4) = 0

$(u - 5) (u - 4) = 0$

解题步骤 1.3

使用

sec (θ)

$\sec (θ)$ 替换所有出现的

u

$u$ 。

(sec (θ) - 5) (sec (θ) - 4) = 0

$(\sec (θ) - 5) (\sec (θ) - 4) = 0$

(sec (θ) - 5) (sec (θ) - 4) = 0

$(\sec (θ) - 5) (\sec (θ) - 4) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于

0

$0$ ，则整个表达式将等于

0

$0$ 。

sec (θ) - 5 = 0

$\sec (θ) - 5 = 0$

sec (θ) - 4 = 0

$\sec (θ) - 4 = 0$

解题步骤 3

将

sec (θ) - 5

$\sec (θ) - 5$ 设为等于

0

$0$ 并求解

θ

$θ$ 。

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解题步骤 3.1

将

sec (θ) - 5

$\sec (θ) - 5$ 设为等于

0

$0$ 。

sec (θ) - 5 = 0

$\sec (θ) - 5 = 0$

解题步骤 3.2

求解

θ

$θ$ 的

sec (θ) - 5 = 0

$\sec (θ) - 5 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上

5

$5$ 。

sec (θ) = 5

$\sec (θ) = 5$

解题步骤 3.2.2

对方程两边取反正割以便从正割中提出

θ

$θ$ 。

θ = arcsec (5)

$θ = arcsec (5)$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

计算

arcsec (5)

$arcsec (5)$ 。

θ = 78.46304096

$θ = 78.46304096$

θ = 78.46304096

$θ = 78.46304096$

解题步骤 3.2.4

正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解，应从

360

$360$ 中减去参考角以求第四象限中的解。

θ = 360 - 78.46304096

$θ = 360 - 78.46304096$

解题步骤 3.2.5

从

360

$360$ 中减去

78.46304096

$78.46304096$ 。

θ = 281.53695903

$θ = 281.53695903$

解题步骤 3.2.6

求

sec (θ)

$\sec (θ)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.6.1

函数的周期可利用

\frac{360}{| b |}

$\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

\frac{360}{| b |}

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 3.2.6.2

使用周期公式中的

1

$1$ 替换

b

$b$ 。

\frac{360}{| 1 |}

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\frac{360}{1}

$\frac{360}{1}$

解题步骤 3.2.6.4

用

360

$360$ 除以

1

$1$ 。

360

$360$

360

$360$

解题步骤 3.2.7

sec (θ)

$\sec (θ)$ 函数的周期为

360

$360$ ，所以函数值在两个方向上每隔

360

$360$ 度数重复出现。

θ = 78.46304096 + 360 n, 281.53695903 + 360 n

$θ = 78.46304096 + 360 n, 281.53695903 + 360 n$ ，对于任意整数

n

$n$

θ = 78.46304096 + 360 n, 281.53695903 + 360 n

$θ = 78.46304096 + 360 n, 281.53695903 + 360 n$ ，对于任意整数

n

$n$

θ = 78.46304096 + 360 n, 281.53695903 + 360 n

$θ = 78.46304096 + 360 n, 281.53695903 + 360 n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 4

将

sec (θ) - 4

$\sec (θ) - 4$ 设为等于

0

$0$ 并求解

θ

$θ$ 。

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解题步骤 4.1

将

sec (θ) - 4

$\sec (θ) - 4$ 设为等于

0

$0$ 。

sec (θ) - 4 = 0

$\sec (θ) - 4 = 0$

解题步骤 4.2

求解

θ

$θ$ 的

sec (θ) - 4 = 0

$\sec (θ) - 4 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上

4

$4$ 。

sec (θ) = 4

$\sec (θ) = 4$

解题步骤 4.2.2

对方程两边取反正割以便从正割中提出

θ

$θ$ 。

θ = arcsec (4)

$θ = arcsec (4)$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

计算

arcsec (4)

$arcsec (4)$ 。

θ = 75.52248781

$θ = 75.52248781$

θ = 75.52248781

$θ = 75.52248781$

解题步骤 4.2.4

正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解，应从

360

$360$ 中减去参考角以求第四象限中的解。

θ = 360 - 75.52248781

$θ = 360 - 75.52248781$

解题步骤 4.2.5

从

360

$360$ 中减去

75.52248781

$75.52248781$ 。

θ = 284.47751218

$θ = 284.47751218$

解题步骤 4.2.6

求

$\sec (θ)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.6.1

函数的周期可利用

$\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 4.2.6.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 4.2.6.4

用

$360$ 除以

$1$ 。

$360$

解题步骤 4.2.7

$\sec (θ)$ 函数的周期为

$360$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$360$ 度数重复出现。

$θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

$θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

$θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 5

最终解为使

$(\sec (θ) - 5) (\sec (θ) - 4) = 0$ 成立的所有值。

$θ = 78.46304096 + 360 n, 281.53695903 + 360 n, 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n$ ，对于任意整数

$n$

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