三角学示例

$\csc (θ) = 4$ ,

$\cot (θ) < 0$

解题步骤 1

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. The cosecant function is positive in the first and second quadrants. The set of solutions for

$θ$ are limited to the second quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

解位于第二象限。

解题步骤 2

使用余割的定义求单位圆直角三角形的已知边。所在象限将决定每一个值的正负号。

$\csc (θ) = \frac{斜边}{对边}$

解题步骤 3

求单位圆三角形的邻边。由于斜边和对边已知，使用勾股定理即可求最后一条边。

$邻边 = - \sqrt{{斜边}^{2} - {对边}^{2}}$

解题步骤 4

替换方程中的已知值。

$邻边 = - \sqrt{{(4)}^{2} - {(1)}^{2}}$

解题步骤 5

化简根式内部。

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解题步骤 5.1

对

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(1)}^{2}}$ 取反。

邻边

$= - \sqrt{{(4)}^{2} - {(1)}^{2}}$

解题步骤 5.2

对

$4$ 进行

$2$ 次方运算。

邻边

$= - \sqrt{16 - {(1)}^{2}}$

解题步骤 5.3

一的任意次幂都为一。

邻边

$= - \sqrt{16 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.4

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

邻边

$= - \sqrt{16 - 1}$

解题步骤 5.5

从

$16$ 中减去

$1$ 。

邻边

$= - \sqrt{15}$

邻边

$= - \sqrt{15}$

解题步骤 6

求正弦值。

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解题步骤 6.1

使用正弦的定义求

$\sin (θ)$ 的值。

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

解题步骤 6.2

代入已知值。

$\sin (θ) = \frac{1}{4}$

解题步骤 7

求余弦值。

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解题步骤 7.1

使用余弦的定义求

$\cos (θ)$ 的值。

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

解题步骤 7.2

代入已知值。

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{15}}{4}$

解题步骤 7.3

将负号移到分数的前面。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{4}$

解题步骤 8

求正切值。

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解题步骤 8.1

使用正切的定义求

$\tan (θ)$ 的值。

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

解题步骤 8.2

代入已知值。

$\tan (θ) = \frac{1}{- \sqrt{15}}$

解题步骤 8.3

化简

$\tan (θ)$ 的值。

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解题步骤 8.3.1

约去

$1$ 和

$- 1$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1

将

$1$ 重写为

$- 1 (- 1)$ 。

$\tan (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{15}}$

解题步骤 8.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$\tan (θ) = - \frac{1}{\sqrt{15}}$

解题步骤 8.3.2

将

$\frac{1}{\sqrt{15}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ 。

$\tan (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

解题步骤 8.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 8.3.3.1

将

$\frac{1}{\sqrt{15}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ 。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

解题步骤 8.3.3.2

对

$\sqrt{15}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

解题步骤 8.3.3.3

对

$\sqrt{15}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

解题步骤 8.3.3.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.3.3.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

解题步骤 8.3.3.6

将

${\sqrt{15}}^{2}$ 重写为

$15$ 。

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解题步骤 8.3.3.6.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{15}$ 重写成

$15^{\frac{1}{2}}$ 。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.3.3.6.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.3.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15}$

解题步骤 8.3.3.6.5

计算指数。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15}$

解题步骤 9

求余切值。

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解题步骤 9.1

使用余切的定义求

$\cot (θ)$ 的值。

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

解题步骤 9.2

代入已知值。

$\cot (θ) = \frac{- \sqrt{15}}{1}$

解题步骤 9.3

用

$- \sqrt{15}$ 除以

$1$ 。

$\cot (θ) = - \sqrt{15}$

解题步骤 10

求正割值。

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解题步骤 10.1

使用正割的定义求

$\sec (θ)$ 的值。

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

解题步骤 10.2

代入已知值。

$\sec (θ) = \frac{4}{- \sqrt{15}}$

解题步骤 10.3

化简

$\sec (θ)$ 的值。

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解题步骤 10.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sec (θ) = - \frac{4}{\sqrt{15}}$

解题步骤 10.3.2

将

$\frac{4}{\sqrt{15}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ 。

$\sec (θ) = - (\frac{4}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

解题步骤 10.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 10.3.3.1

将

$\frac{4}{\sqrt{15}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ 。

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

解题步骤 10.3.3.2

对

$\sqrt{15}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

解题步骤 10.3.3.3

对

$\sqrt{15}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

解题步骤 10.3.3.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

解题步骤 10.3.3.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

解题步骤 10.3.3.6

将

${\sqrt{15}}^{2}$ 重写为

$15$ 。

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解题步骤 10.3.3.6.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{15}$ 重写成

$15^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 10.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 10.3.3.6.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 10.3.3.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 10.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

解题步骤 10.3.3.6.5

计算指数。

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

解题步骤 11

这是各个三角函数值的解。

$\sin (θ) = \frac{1}{4}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15}$

$\cot (θ) = - \sqrt{15}$

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

$\csc (θ) = 4$

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