三角学示例

$\tan^{2} (x) = \sec (x) - 1$

解题步骤 1

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $\sec (x)$ 。

$\tan^{2} (x) - \sec (x) = - 1$

解题步骤 1.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$\tan^{2} (x) - \sec (x) + 1 = 0$

解题步骤 2

化简等式左边。

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解题步骤 2.1

移动 $1$ 。

$\tan^{2} (x) + 1 - \sec (x) = 0$

解题步骤 2.2

使用勾股恒等式。

$\sec^{2} (x) - \sec (x) = 0$

解题步骤 3

从 $\sec^{2} (x) - \sec (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 3.1

从 $\sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\sec (x) \sec (x) - \sec (x) = 0$

解题步骤 3.2

从 $- \sec (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 1 = 0$

解题步骤 3.3

从 $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 1$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\sec (x) (\sec (x) - 1) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sec (x) = 0$

$\sec (x) - 1 = 0$

解题步骤 5

将 $\sec (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\sec (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sec (x) = 0$

解题步骤 5.2

正割函数的值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。因为 $0$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 6

将 $\sec (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\sec (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$\sec (x) - 1 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $\sec (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\sec (x) = 1$

解题步骤 6.2.2

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $x$ 。

$x = arcsec (1)$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

$arcsec (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6.2.4

正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第四象限中的解。

$x = 2 π - 0$

解题步骤 6.2.5

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$x = 2 π$

解题步骤 6.2.6

求 $\sec (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.2.7

$\sec (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

最终解为使 $\sec (x) (\sec (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

合并答案。

$x = 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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