三角学示例

$16 \sec^{2} (θ) - 25 = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $25$ 。

$16 \sec^{2} (θ) = 25$

解题步骤 2

将 $16 \sec^{2} (θ) = 25$ 中的每一项除以 $16$ 并化简。

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解题步骤 2.1

将 $16 \sec^{2} (θ) = 25$ 中的每一项都除以 $16$ 。

$\frac{16 \sec^{2} (θ)}{16} = \frac{25}{16}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{16 \sec^{2} (θ)}{16} = \frac{25}{16}$

解题步骤 2.2.1.2

用 $\sec^{2} (θ)$ 除以 $1$ 。

$\sec^{2} (θ) = \frac{25}{16}$

解题步骤 3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sec (θ) = \pm \sqrt{\frac{25}{16}}$

解题步骤 4

化简 $\pm \sqrt{\frac{25}{16}}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\sqrt{\frac{25}{16}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}$ 。

$\sec (θ) = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}$

解题步骤 4.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\sec (θ) = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{16}}$

解题步骤 4.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sec (θ) = \pm \frac{5}{\sqrt{16}}$

解题步骤 4.3

化简分母。

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解题步骤 4.3.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\sec (θ) = \pm \frac{5}{\sqrt{4^{2}}}$

解题步骤 4.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sec (θ) = \pm \frac{5}{4}$

解题步骤 5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sec (θ) = \frac{5}{4}$

解题步骤 5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sec (θ) = - \frac{5}{4}$

解题步骤 5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sec (θ) = \frac{5}{4}, - \frac{5}{4}$

解题步骤 6

建立每一个解以求解 $θ$ 。

$\sec (θ) = \frac{5}{4}$

$\sec (θ) = - \frac{5}{4}$

解题步骤 7

在 $\sec (θ) = \frac{5}{4}$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 7.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $θ$ 。

$θ = arcsec (\frac{5}{4})$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

计算 $arcsec (\frac{5}{4})$ 。

$θ = 36.86989764$

解题步骤 7.3

正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解，应从 $360$ 中减去参考角以求第四象限中的解。

$θ = 360 - 36.86989764$

解题步骤 7.4

从 $360$ 中减去 $36.86989764$ 。

$θ = 323.13010235$

解题步骤 7.5

求 $\sec (θ)$ 的周期。

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解题步骤 7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 7.5.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 7.6

$\sec (θ)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$θ = 36.86989764 + 360 n, 323.13010235 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

在 $\sec (θ) = - \frac{5}{4}$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 8.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $θ$ 。

$θ = arcsec (- \frac{5}{4})$

解题步骤 8.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.1

计算 $arcsec (- \frac{5}{4})$ 。

$θ = 143.13010235$

解题步骤 8.3

正割函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $360$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$θ = 360 - 143.13010235$

解题步骤 8.4

从 $360$ 中减去 $143.13010235$ 。

$θ = 216.86989764$

解题步骤 8.5

求 $\sec (θ)$ 的周期。

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解题步骤 8.5.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 8.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 8.5.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 8.6

$\sec (θ)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$θ = 143.13010235 + 360 n, 216.86989764 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

列出所有解。

$θ = 36.86989764 + 360 n, 323.13010235 + 360 n, 143.13010235 + 360 n, 216.86989764 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

合并解集。

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解题步骤 10.1

将 $36.86989764 + 360 n$ 和 $216.86989764 + 360 n$ 合并为 $36.86989764 + 180 n$ 。

$θ = 36.86989764 + 180 n, 323.13010235 + 360 n, 143.13010235 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10.2

将 $323.13010235 + 360 n$ 和 $143.13010235 + 360 n$ 合并为 $143.13010235 + 180 n$ 。

$θ = 36.86989764 + 180 n, 143.13010235 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

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