三角学示例

$3 (\cos (π) + i \sin (π))$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$3 (- \cos (0) + i \sin (π))$

解题步骤 1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$3 (- 1 \cdot 1 + i \sin (π))$

解题步骤 1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 (- 1 + i \sin (π))$

解题步骤 1.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$3 (- 1 + i \sin (0))$

解题步骤 1.5

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$3 (- 1 + i \cdot 0)$

解题步骤 1.6

将 $i$ 乘以 $0$ 。

$3 (- 1 + 0)$

$3 (- 1 + 0)$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$3 \cdot - 1$

解题步骤 2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3$

$- 3$

解题步骤 3

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 4

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5

代入 $a = - 3$ 和 $b = 0$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 3)}^{2}}$

解题步骤 6

求 $| z |$ 。

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解题步骤 6.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| z | = \sqrt{0 + {(- 3)}^{2}}$

解题步骤 6.2

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{0 + 9}$

解题步骤 6.3

将 $0$ 和 $9$ 相加。

$| z | = \sqrt{9}$

解题步骤 6.4

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 6.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 3$

$| z | = 3$

解题步骤 7

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{0}{- 3})$

解题步骤 8

因为 $\frac{0}{- 3}$ 的反正切得出位于第二象限的一个角，所以其角度为 $π$ 。

$θ = π$

解题步骤 9

代入 $θ = π$ 和 $| z | = 3$ 的值。

$3 (\cos (π) + i \sin (π))$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$