三角学示例

$\frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$

解题步骤 1

将 $\sec (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (t)}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)}$

解题步骤 2

将 $\frac{1}{\cos (t)}$ 转换成 $\sec (t)$ 。

$\frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$

解题步骤 3

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 4

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5

代入 $a = \frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$ 和 $b = 0$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)})}^{2}}$

解题步骤 6

求 $| z |$ 。

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解题步骤 6.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)})}^{2}}$

解题步骤 6.2

将 $\sec (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sin (t)}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)})}^{2}}$

解题步骤 6.3

对 $\frac{\sin (t)}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{\sin^{2} (t)}{{(\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}^{2}}}$

解题步骤 6.4

将 $0$ 和 $\frac{\sin^{2} (t)}{{(\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}^{2}}$ 相加。

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{2} (t)}{{(\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}^{2}}}$

解题步骤 6.5

将 $\frac{\sin^{2} (t)}{{(\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}^{2}}$ 重写为 ${(\frac{\sin (t)}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)})}^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{{(\frac{\sin (t)}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)})}^{2}}$

解题步骤 6.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = \frac{\sin (t)}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)}$

解题步骤 6.7

将 $\frac{1}{\cos (t)}$ 转换成 $\sec (t)$ 。

$| z | = \frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$

解题步骤 7

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}})$

解题步骤 8

代入 $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}})$ 和 $| z | = \frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$ 的值。

$\frac{\sin (t)}{(\sec (t) - \cos (t)) (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}})))}$

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