三角学示例

$\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

解题步骤 1

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 2

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 3

代入 $a = \frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ 和 $b = 0$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)})}^{2}}$

解题步骤 4

求 $| z |$ 。

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解题步骤 4.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)})}^{2}}$

解题步骤 4.2

对 $\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \cos (2 x))}^{2}}{\sin^{2} (2 x)}}$

解题步骤 4.3

乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \cos (2 x))}^{2}}{\sin^{2} (2 x) \cdot 1}}$

解题步骤 4.4

分离分数。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \cos (2 x))}^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (2 x)}}$

解题步骤 4.5

将 $\frac{1}{\sin^{2} (2 x)}$ 转换成 $\csc^{2} (2 x)$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \cos (2 x))}^{2}}{1} \cdot \csc^{2} (2 x)}$

解题步骤 4.6

化简表达式。

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解题步骤 4.6.1

用 ${(1 - \cos (2 x))}^{2}$ 除以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{0 + {(1 - \cos (2 x))}^{2} \csc^{2} (2 x)}$

解题步骤 4.6.2

将 ${(1 - \cos (2 x))}^{2}$ 重写为 $(1 - \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))$ 。

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

解题步骤 4.7

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))$ 。

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解题步骤 4.7.1

运用分配律。

$| z | = \sqrt{0 + (1 (1 - \cos (2 x)) - \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

解题步骤 4.7.2

运用分配律。

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

解题步骤 4.7.3

运用分配律。

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \cdot 1 - \cos (2 x) (- \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

解题步骤 4.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.8.1

化简每一项。

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解题步骤 4.8.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 1 (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \cdot 1 - \cos (2 x) (- \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

解题步骤 4.8.1.2

将 $- \cos (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) \cdot 1 - \cos (2 x) (- \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

解题步骤 4.8.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

解题步骤 4.8.1.4

乘以 $- \cos (2 x) (- \cos (2 x))$ 。

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解题步骤 4.8.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + 1 \cos (2 x) \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

解题步骤 4.8.1.4.2

将 $\cos (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

解题步骤 4.8.1.4.3

对 $\cos (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

解题步骤 4.8.1.4.4

对 $\cos (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

解题步骤 4.8.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1}) \csc^{2} (2 x)}$

解题步骤 4.8.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + \cos^{2} (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

解题步骤 4.8.2

从 $- \cos (2 x)$ 中减去 $\cos (2 x)$ 。

$| z | = \sqrt{0 + (1 - 2 \cos (2 x) + \cos^{2} (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

解题步骤 4.9

运用分配律。

$| z | = \sqrt{0 + 1 \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) \csc^{2} (2 x)}$

解题步骤 4.10

化简。

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解题步骤 4.10.1

将 $\csc^{2} (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) \csc^{2} (2 x)}$

解题步骤 4.10.2

将 $\csc (2 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) {(\frac{1}{\sin (2 x)})}^{2}}$

解题步骤 4.10.3

对 $\frac{1}{\sin (2 x)}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) (\frac{1^{2}}{\sin^{2} (2 x)})}$

解题步骤 4.10.4

一的任意次幂都为一。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) (\frac{1}{\sin^{2} (2 x)})}$

解题步骤 4.10.5

组合 $\cos^{2} (2 x)$ 和 $\frac{1}{\sin^{2} (2 x)}$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}}$

解题步骤 4.11

将 $\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}$ 转换成 $\cot^{2} (2 x)$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)}$

解题步骤 4.12

将 $0$ 和 $\csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)$ 相加。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)}$

解题步骤 5

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}})$

解题步骤 6

代入 $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}})$ 和 $| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)}$ 的值。

$\sqrt{\csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)} (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}})))$

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