三角学示例

$\cos^{2} (θ) + 9 \cos (θ) + 18 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

使 $u = \cos (θ)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\cos (θ)$ 。

$u^{2} + 9 u + 18 = 0$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $u^{2} + 9 u + 18$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $18$ ，和为 $9$ 。

$3, 6$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u + 3) (u + 6) = 0$

解题步骤 1.3

使用 $\cos (θ)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(\cos (θ) + 3) (\cos (θ) + 6) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (θ) + 3 = 0$

$\cos (θ) + 6 = 0$

解题步骤 3

将 $\cos (θ) + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\cos (θ) + 3$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (θ) + 3 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $θ$ 的 $\cos (θ) + 3 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$\cos (θ) = - 3$

解题步骤 3.2.2

余弦的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $- 3$ 不在值域中，所以无解。

无解

解题步骤 4

最终解为使 $(\cos (θ) + 3) (\cos (θ) + 6) = 0$ 成立的所有值。

无解

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