三角学示例

$- \frac{1}{1 + i}$

解题步骤 1

对 $\frac{1}{1 + 1 i}$ 的分子和分母乘以 $1 + 1 i$ 的共轭以使分母变为实数。

$- (\frac{1}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i})$

解题步骤 2

乘。

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解题步骤 2.1

合并。

$- \frac{1 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

解题步骤 2.2

将 $1 - i$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1 - i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

解题步骤 2.3

化简分母。

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解题步骤 2.3.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + 1 i) (1 - i)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

运用分配律。

$- \frac{1 - i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

解题步骤 2.3.1.2

运用分配律。

$- \frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$- \frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

解题步骤 2.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1 - i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

解题步骤 2.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

解题步骤 2.3.2.3

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

解题步骤 2.3.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

解题步骤 2.3.2.5

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

解题步骤 2.3.2.6

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

解题步骤 2.3.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

解题步骤 2.3.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

解题步骤 2.3.2.9

将 $- 1 i$ 和 $1 i$ 相加。

$- \frac{1 - i}{1 + 0 - i^{2}}$

解题步骤 2.3.2.10

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1 - i}{1 - i^{2}}$

解题步骤 2.3.3

化简每一项。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$- \frac{1 - i}{1 - - 1}$

解题步骤 2.3.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1 - i}{1 + 1}$

解题步骤 2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1 - i}{2}$

解题步骤 3

分解分数 $\frac{1 - i}{2}$ 成为两个分数。

$- (\frac{1}{2} + \frac{- i}{2})$

解题步骤 4

将负号移到分数的前面。

$- (\frac{1}{2} - \frac{i}{2})$

解题步骤 5

运用分配律。

$- \frac{1}{2} - - \frac{i}{2}$

解题步骤 6

乘以 $- - \frac{i}{2}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{2} + 1 \frac{i}{2}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{i}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

解题步骤 7

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 8

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 9

代入 $a = - \frac{1}{2}$ 和 $b = \frac{1}{2}$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 10

求 $| z |$ 。

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解题步骤 10.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 10.2

一的任意次幂都为一。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 10.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 10.4

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 10.4.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 10.4.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 10.5

化简表达式。

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解题步骤 10.5.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 10.5.2

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 10.5.3

一的任意次幂都为一。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

解题步骤 10.5.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

解题步骤 10.5.5

在公分母上合并分子。

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

解题步骤 10.5.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$| z | = \sqrt{\frac{2}{4}}$

解题步骤 10.6

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 10.6.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

解题步骤 10.6.2

约去公因数。

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解题步骤 10.6.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 10.6.2.2

约去公因数。

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 10.6.2.3

重写表达式。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 10.7

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 10.8

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 10.9

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 10.10

合并和化简分母。

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解题步骤 10.10.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 10.10.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 10.10.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 10.10.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 10.10.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 10.10.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 10.10.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 10.10.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 10.10.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 10.10.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.10.6.4.1

约去公因数。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 10.10.6.4.2

重写表达式。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 10.10.6.5

计算指数。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 11

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{\frac{1}{2}}{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 12

因为 $\frac{\frac{1}{2}}{- \frac{1}{2}}$ 的反正切得出位于第二象限的一个角，所以其角度为 $\frac{3 π}{4}$ 。

$θ = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 13

代入 $θ = \frac{3 π}{4}$ 和 $| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 的值。

$\frac{\sqrt{2}}{2 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))}$

三角学 示例

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