三角学示例

$\frac{\cot (t)}{\csc (t) - \sin (t)}$

解题步骤 1

将 $\cot (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{\cos (t)}{\sin (t)}}{\csc (t) - \sin (t)}$

解题步骤 2

将 $\csc (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{\cos (t)}{\sin (t)}}{\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t)}$

解题步骤 3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t)}$

解题步骤 4

将 $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ 乘以 $\frac{1}{\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t)}$ 。

$\frac{\cos (t)}{\sin (t) (\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t))}$

解题步骤 5

分离分数。

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

解题步骤 6

将 $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ 转换成 $\cot (t)$ 。

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t)} \cot (t)$

解题步骤 7

将 $\frac{1}{\sin (t)}$ 转换成 $\csc (t)$ 。

$\frac{1}{\csc (t) - \sin (t)} \cot (t)$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{\csc (t) - \sin (t)}$ 和 $\cot (t)$ 。

$\frac{\cot (t)}{\csc (t) - \sin (t)}$

解题步骤 9

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 10

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 11

代入 $a = \frac{\cot (t)}{\csc (t) - \sin (t)}$ 和 $b = 0$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\cot (t)}{\csc (t) - \sin (t)})}^{2}}$

解题步骤 12

求 $| z |$ 。

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解题步骤 12.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\cot (t)}{\csc (t) - \sin (t)})}^{2}}$

解题步骤 12.2

将 $\cot (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\frac{\cos (t)}{\sin (t)}}{\csc (t) - \sin (t)})}^{2}}$

解题步骤 12.3

将 $\csc (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\frac{\cos (t)}{\sin (t)}}{\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t)})}^{2}}$

解题步骤 12.4

将分子乘以分母的倒数。

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t)})}^{2}}$

解题步骤 12.5

将 $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ 乘以 $\frac{1}{\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t)}$ 。

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\cos (t)}{\sin (t) (\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t))})}^{2}}$

解题步骤 12.6

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 12.6.1

对 $\frac{\cos (t)}{\sin (t) (\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t))}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{\cos^{2} (t)}{{(\sin (t) (\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t)))}^{2}}}$

解题步骤 12.6.2

对 $\sin (t) (\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t))$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t) {(\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t))}^{2}}}$

解题步骤 12.7

将 $0$ 和 $\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t) {(\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t))}^{2}}$ 相加。

$| z | = \sqrt{\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t) {(\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t))}^{2}}}$

解题步骤 12.8

将 $\sin^{2} (t) {(\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t))}^{2}$ 重写为 ${(\sin (t) (\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t)))}^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{\cos^{2} (t)}{{(\sin (t) (\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t)))}^{2}}}$

解题步骤 12.9

将 $\frac{\cos^{2} (t)}{{(\sin (t) (\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t)))}^{2}}$ 重写为 ${(\frac{\cos (t)}{\sin (t) (\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t))})}^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{{(\frac{\cos (t)}{\sin (t) (\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t))})}^{2}}$

解题步骤 12.10

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = \frac{\cos (t)}{\sin (t) (\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t))}$

解题步骤 12.11

分离分数。

$| z | = \frac{1}{\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

解题步骤 12.12

将 $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ 转换成 $\cot (t)$ 。

$| z | = \frac{1}{\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t)} \cdot \cot (t)$

解题步骤 12.13

将 $\frac{1}{\sin (t)}$ 转换成 $\csc (t)$ 。

$| z | = \frac{1}{\csc (t) - \sin (t)} \cdot \cot (t)$

解题步骤 12.14

组合 $\frac{1}{\csc (t) - \sin (t)}$ 和 $\cot (t)$ 。

$| z | = \frac{\cot (t)}{\csc (t) - \sin (t)}$

解题步骤 13

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\cot (t)}{\csc (t) - \sin (t)}})$

解题步骤 14

代入 $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\cot (t)}{\csc (t) - \sin (t)}})$ 和 $| z | = \frac{\cot (t)}{\csc (t) - \sin (t)}$ 的值。

$\frac{\cot (t)}{(\csc (t) - \sin (t)) (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{\cot (t)}{\csc (t) - \sin (t)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{\cot (t)}{\csc (t) - \sin (t)}})))}$

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