三角学示例

\frac{1 + cos (2 y)}{sin (2 y)}

$\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$

解题步骤 1

这是复数的三角函数形式，其中

$| z |$ 是模数，

$θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 2

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当

$z = a + b i$ 时，

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 3

代入

$a = \frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$ 和

$b = 0$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)})}^{2}}$

解题步骤 4

求

$| z |$ 。

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解题步骤 4.1

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)})}^{2}}$

解题步骤 4.2

对

$\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{\sin^{2} (2 y)}}$

解题步骤 4.3

乘以

$1$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{\sin^{2} (2 y) \cdot 1}}$

解题步骤 4.4

分离分数。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (2 y)}}$

解题步骤 4.5

将

$\frac{1}{\sin^{2} (2 y)}$ 转换成

$\csc^{2} (2 y)$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{1} \cdot \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.6

化简表达式。

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解题步骤 4.6.1

用

${(1 + \cos (2 y))}^{2}$ 除以

$1$ 。

$| z | = \sqrt{0 + {(1 + \cos (2 y))}^{2} \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.6.2

将

${(1 + \cos (2 y))}^{2}$ 重写为

$(1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y))$ 。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.7

使用 FOIL 方法展开

$(1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y))$ 。

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解题步骤 4.7.1

运用分配律。

$| z | = \sqrt{0 + (1 (1 + \cos (2 y)) + \cos (2 y) (1 + \cos (2 y))) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.7.2

运用分配律。

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) (1 + \cos (2 y))) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.7.3

运用分配律。

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.8.1

化简每一项。

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解题步骤 4.8.1.1

将

$1$ 乘以

$1$ 。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.8.1.2

将

$\cos (2 y)$ 乘以

$1$ 。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.8.1.3

将

$\cos (2 y)$ 乘以

$1$ 。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.8.1.4

乘以

$\cos (2 y) \cos (2 y)$ 。

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解题步骤 4.8.1.4.1

对

$\cos (2 y)$ 进行

$1$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.8.1.4.2

对

$\cos (2 y)$ 进行

$1$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.8.1.4.3

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + {\cos (2 y)}^{1 + 1}) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.8.1.4.4

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos^{2} (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.8.2

将

$\cos (2 y)$ 和

$\cos (2 y)$ 相加。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 2 \cos (2 y) + \cos^{2} (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.9

运用分配律。

$| z | = \sqrt{0 + 1 \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.10

化简。

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解题步骤 4.10.1

将

$\csc^{2} (2 y)$ 乘以

$1$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.10.2

将

$\csc (2 y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) {(\frac{1}{\sin (2 y)})}^{2}}$

解题步骤 4.10.3

对

$\frac{1}{\sin (2 y)}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) (\frac{1^{2}}{\sin^{2} (2 y)})}$

解题步骤 4.10.4

一的任意次幂都为一。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) (\frac{1}{\sin^{2} (2 y)})}$

解题步骤 4.10.5

组合

$\cos^{2} (2 y)$ 和

$\frac{1}{\sin^{2} (2 y)}$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \frac{\cos^{2} (2 y)}{\sin^{2} (2 y)}}$

解题步骤 4.11

将

$\frac{\cos^{2} (2 y)}{\sin^{2} (2 y)}$ 转换成

$\cot^{2} (2 y)$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.12

将

$0$ 和

$\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ 相加。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.13

以因式分解的形式重写

$\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ 。

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解题步骤 4.13.1

重写中间项。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \csc (2 y) \cot (2 y) + 0 + \cot^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.13.2

重新整理项。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

解题步骤 4.13.3

通过完全平方法则对前三项进行因式分解。

$| z | = \sqrt{{(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2} + 0}$

解题步骤 4.13.4

将

${(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2}$ 重写为

$(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y))$ 。

$| z | = \sqrt{(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

解题步骤 4.13.5

使用 FOIL 方法展开

$(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y))$ 。

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解题步骤 4.13.5.1

运用分配律。

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + \cot (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

解题步骤 4.13.5.2

运用分配律。

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

解题步骤 4.13.5.3

运用分配律。

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

解题步骤 4.13.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.13.6.1

化简每一项。

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解题步骤 4.13.6.1.1

乘以

$\csc (2 y) \csc (2 y)$ 。

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解题步骤 4.13.6.1.1.1

对

$\csc (2 y)$ 进行

$1$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

解题步骤 4.13.6.1.1.2

对

$\csc (2 y)$ 进行

$1$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

解题步骤 4.13.6.1.1.3

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$| z | = \sqrt{{\csc (2 y)}^{1 + 1} + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

解题步骤 4.13.6.1.1.4

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

解题步骤 4.13.6.1.2

乘以

$\cot (2 y) \cot (2 y)$ 。

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解题步骤 4.13.6.1.2.1

对

$\cot (2 y)$ 进行

$1$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

解题步骤 4.13.6.1.2.2

对

$\cot (2 y)$ 进行

$1$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

解题步骤 4.13.6.1.2.3

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + {\cot (2 y)}^{1 + 1} + 0}$

解题步骤 4.13.6.1.2.4

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

解题步骤 4.13.6.2

重新排序

$\csc (2 y) \cot (2 y)$ 的因式。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

解题步骤 4.13.6.3

将

$\cot (2 y) \csc (2 y)$ 和

$\cot (2 y) \csc (2 y)$ 相加。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

解题步骤 4.13.7

将

$\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ 和

$0$ 相加。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.13.8

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 4.13.8.1

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 \cot (2 y) \csc (2 y) = 2 \cdot \csc (2 y) \cdot \cot (2 y)$

解题步骤 4.13.8.2

重写多项式。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cdot \csc (2 y) \cdot \cot (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.13.8.3

使用完全平方三项式法则对

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中

$a = \csc (2 y)$ 和

$b = \cot (2 y)$ 。

$| z | = \sqrt{{(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2}}$

解题步骤 4.14

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = \csc (2 y) + \cot (2 y)$

解题步骤 5

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})$

解题步骤 6

代入

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})$ 和

$| z | = \csc (2 y) + \cot (2 y)$ 的值。

$\csc (2 y) + \cot (2 y) (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})))$

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