三角学示例

$\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$

解题步骤 1

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 2

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 3

代入 $a = \frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$ 和 $b = 0$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)})}^{2}}$

解题步骤 4

求 $| z |$ 。

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解题步骤 4.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)})}^{2}}$

解题步骤 4.2

对 $\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{\sin^{2} (2 y)}}$

解题步骤 4.3

乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{\sin^{2} (2 y) \cdot 1}}$

解题步骤 4.4

分离分数。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (2 y)}}$

解题步骤 4.5

将 $\frac{1}{\sin^{2} (2 y)}$ 转换成 $\csc^{2} (2 y)$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{1} \cdot \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.6

化简表达式。

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解题步骤 4.6.1

用 ${(1 + \cos (2 y))}^{2}$ 除以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{0 + {(1 + \cos (2 y))}^{2} \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.6.2

将 ${(1 + \cos (2 y))}^{2}$ 重写为 $(1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y))$ 。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.7

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y))$ 。

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解题步骤 4.7.1

运用分配律。

$| z | = \sqrt{0 + (1 (1 + \cos (2 y)) + \cos (2 y) (1 + \cos (2 y))) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.7.2

运用分配律。

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) (1 + \cos (2 y))) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.7.3

运用分配律。

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.8.1

化简每一项。

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解题步骤 4.8.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.8.1.2

将 $\cos (2 y)$ 乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.8.1.3

将 $\cos (2 y)$ 乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.8.1.4

乘以 $\cos (2 y) \cos (2 y)$ 。

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解题步骤 4.8.1.4.1

对 $\cos (2 y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.8.1.4.2

对 $\cos (2 y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.8.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + {\cos (2 y)}^{1 + 1}) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.8.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos^{2} (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.8.2

将 $\cos (2 y)$ 和 $\cos (2 y)$ 相加。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 2 \cos (2 y) + \cos^{2} (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.9

运用分配律。

$| z | = \sqrt{0 + 1 \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.10

化简。

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解题步骤 4.10.1

将 $\csc^{2} (2 y)$ 乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) \csc^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.10.2

将 $\csc (2 y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) {(\frac{1}{\sin (2 y)})}^{2}}$

解题步骤 4.10.3

对 $\frac{1}{\sin (2 y)}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) (\frac{1^{2}}{\sin^{2} (2 y)})}$

解题步骤 4.10.4

一的任意次幂都为一。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) (\frac{1}{\sin^{2} (2 y)})}$

解题步骤 4.10.5

组合 $\cos^{2} (2 y)$ 和 $\frac{1}{\sin^{2} (2 y)}$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \frac{\cos^{2} (2 y)}{\sin^{2} (2 y)}}$

解题步骤 4.11

将 $\frac{\cos^{2} (2 y)}{\sin^{2} (2 y)}$ 转换成 $\cot^{2} (2 y)$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.12

将 $0$ 和 $\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ 相加。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.13

以因式分解的形式重写 $\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ 。

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解题步骤 4.13.1

重写中间项。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \csc (2 y) \cot (2 y) + 0 + \cot^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.13.2

重新整理项。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

解题步骤 4.13.3

通过完全平方法则对前三项进行因式分解。

$| z | = \sqrt{{(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2} + 0}$

解题步骤 4.13.4

将 ${(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2}$ 重写为 $(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y))$ 。

$| z | = \sqrt{(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

解题步骤 4.13.5

使用 FOIL 方法展开 $(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y))$ 。

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解题步骤 4.13.5.1

运用分配律。

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + \cot (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

解题步骤 4.13.5.2

运用分配律。

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

解题步骤 4.13.5.3

运用分配律。

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

解题步骤 4.13.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.13.6.1

化简每一项。

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解题步骤 4.13.6.1.1

乘以 $\csc (2 y) \csc (2 y)$ 。

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解题步骤 4.13.6.1.1.1

对 $\csc (2 y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

解题步骤 4.13.6.1.1.2

对 $\csc (2 y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

解题步骤 4.13.6.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$| z | = \sqrt{{\csc (2 y)}^{1 + 1} + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

解题步骤 4.13.6.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

解题步骤 4.13.6.1.2

乘以 $\cot (2 y) \cot (2 y)$ 。

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解题步骤 4.13.6.1.2.1

对 $\cot (2 y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

解题步骤 4.13.6.1.2.2

对 $\cot (2 y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

解题步骤 4.13.6.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + {\cot (2 y)}^{1 + 1} + 0}$

解题步骤 4.13.6.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

解题步骤 4.13.6.2

重新排序 $\csc (2 y) \cot (2 y)$ 的因式。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

解题步骤 4.13.6.3

将 $\cot (2 y) \csc (2 y)$ 和 $\cot (2 y) \csc (2 y)$ 相加。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

解题步骤 4.13.7

将 $\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ 和 $0$ 相加。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.13.8

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 4.13.8.1

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 \cot (2 y) \csc (2 y) = 2 \cdot \csc (2 y) \cdot \cot (2 y)$

解题步骤 4.13.8.2

重写多项式。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cdot \csc (2 y) \cdot \cot (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

解题步骤 4.13.8.3

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = \csc (2 y)$ 和 $b = \cot (2 y)$ 。

$| z | = \sqrt{{(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2}}$

解题步骤 4.14

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = \csc (2 y) + \cot (2 y)$

解题步骤 5

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})$

解题步骤 6

代入 $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})$ 和 $| z | = \csc (2 y) + \cot (2 y)$ 的值。

$\csc (2 y) + \cot (2 y) (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})))$

三角学 示例

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