三角学示例

$3 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 1

代入 $u$ 替换 $\sin (x)$ 。

$3 {(u)}^{2} - (u) - 1 = 0$

解题步骤 2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3

将 $a = 3$ 、 $b = - 1$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.1.3

将 $1$ 和 $12$ 相加。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

解题步骤 5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.1.3

将 $1$ 和 $12$ 相加。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

解题步骤 5.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$u = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

解题步骤 6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 6.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 6.1.3

将 $1$ 和 $12$ 相加。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

解题步骤 6.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$u = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

解题步骤 7

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

解题步骤 8

代入 $\sin (x)$ 替换 $u$ 。

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

解题步骤 9

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

解题步骤 10

在 $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{13}}{6})$

解题步骤 10.2

化简右边。

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解题步骤 10.2.1

计算 $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{13}}{6})$ 。

$x = 0.87507547$

解题步骤 10.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = (3.14159265) - 0.87507547$

解题步骤 10.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 10.4.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 - 0.87507547$

解题步骤 10.4.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) - 0.87507547$

解题步骤 10.4.3

从 $3.14159265$ 中减去 $0.87507547$ 。

$x = 2.26651717$

解题步骤 10.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 10.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 10.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 10.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 10.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 10.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.87507547 + 2 π n, 2.26651717 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11

在 $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{13}}{6})$

解题步骤 11.2

化简右边。

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解题步骤 11.2.1

计算 $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{13}}{6})$ 。

$x = - 0.44921499$

解题步骤 11.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = (3.14159265) + 0.44921499$

解题步骤 11.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 11.4.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 0.44921499$

解题步骤 11.4.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 0.44921499$

解题步骤 11.4.3

将 $3.14159265$ 和 $0.44921499$ 相加。

$x = 3.59080764$

解题步骤 11.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 11.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 11.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 11.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 11.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 11.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 11.6.1

将 $2 π$ 加到 $- 0.44921499$ 以求正角。

$- 0.44921499 + 2 π$

解题步骤 11.6.2

从 $2 π$ 中减去 $0.44921499$ 。

$5.83397031$

解题步骤 11.6.3

列出新角。

$x = 5.83397031$

解题步骤 11.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 3.59080764 + 2 π n, 5.83397031 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12

列出所有解。

$x = 0.87507547 + 2 π n, 2.26651717 + 2 π n, 3.59080764 + 2 π n, 5.83397031 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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