三角学示例

$\frac{\sec (x) + 1}{\tan (x)} = \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

解题步骤 1

从右边开始。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

解题步骤 2

将 $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ 乘以 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ 。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

解题步骤 3

合并。

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 4.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 5

化简分母。

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解题步骤 5.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ 。

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解题步骤 5.1.1

运用分配律。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 (1 + \cos (x)) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 5.1.2

运用分配律。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \cos (x)}$

解题步骤 5.2

化简并合并同类项。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

解题步骤 6

使用勾股恒等式。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

从 $\sin (x) + \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 7.1.1

乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.1.2

从 $\sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.1.3

从 $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\cos (x))$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.2

约去公因数。

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 8

现在考虑方程的左边。

$\frac{\sec (x) + 1}{\tan (x)}$

解题步骤 9

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 9.1

对 $\sec (x)$ 使用倒数恒等式。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\tan (x)}$

解题步骤 9.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

将分子乘以分母的倒数。

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 10.2

运用分配律。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 10.3

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 10.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 10.4

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 11

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 12

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\sec (x) + 1}{\tan (x)} = \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ 是一个恒等式

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