三角学示例

$- 2 \cos^{2} (θ) + \sin (θ) + 1 = 0$

解题步骤 1

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $- 2 (1 - \sin^{2} (θ))$ 替换 $- 2 \cos^{2} (θ)$ 。

$- 2 (1 - \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) + 1 = 0$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) + 1 = 0$

解题步骤 2.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 - 2 (- \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) + 1 = 0$

解题步骤 2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- 2 + 2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ) + 1 = 0$

解题步骤 3

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ) - 1 = 0$

解题步骤 4

代入 $u$ 替换 $\sin (θ)$ 。

$2 {(u)}^{2} + u - 1 = 0$

解题步骤 5

分组因式分解。

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解题步骤 5.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 并且它们的和为 $b = 1$ 。

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解题步骤 5.1.1

乘以 $1$ 。

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

解题步骤 5.1.2

把 $1$ 重写为 $- 1$ 加 $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

解题步骤 5.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

解题步骤 5.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

解题步骤 5.3

通过因式分解出最大公因数 $2 u - 1$ 来因式分解多项式。

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

解题步骤 6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

解题步骤 7

将 $2 u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 7.1

将 $2 u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 u - 1 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $u$ 的 $2 u - 1 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 u = 1$

解题步骤 7.2.2

将 $2 u = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $2 u = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 7.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 7.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{1}{2}$

解题步骤 8

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 8.1

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

解题步骤 8.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 9

最终解为使 $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = \frac{1}{2}, - 1$

解题步骤 10

代入 $\sin (θ)$ 替换 $u$ 。

$\sin (θ) = \frac{1}{2}, - 1$

解题步骤 11

建立每一个解以求解 $θ$ 。

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

$\sin (θ) = - 1$

解题步骤 12

在 $\sin (θ) = \frac{1}{2}$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 12.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $θ$ 。

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

解题步骤 12.2

化简右边。

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解题步骤 12.2.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $30$ 。

$θ = 30$

解题步骤 12.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$θ = 180 - 30$

解题步骤 12.4

从 $180$ 中减去 $30$ 。

$θ = 150$

解题步骤 12.5

求 $\sin (θ)$ 的周期。

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解题步骤 12.5.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 12.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 12.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 12.5.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 12.6

$\sin (θ)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

在 $\sin (θ) = - 1$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 13.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $θ$ 。

$θ = \arcsin (- 1)$

解题步骤 13.2

化简右边。

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解题步骤 13.2.1

$\arcsin (- 1)$ 的准确值为 $- 90$ 。

$θ = - 90$

解题步骤 13.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $360$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $180$ 相加以求第三象限中的解。

$θ = 360 + 90 + 180$

解题步骤 13.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 13.4.1

从 $360 + 90 + 180 °$ 中减去 $360 °$ 。

$θ = 360 + 90 + 180 ° - 360 °$

解题步骤 13.4.2

得出的角 $270 °$ 是正角度，比 $360 °$ 小，且与 $360 + 90 + 180$ 共边。

$θ = 270 °$

解题步骤 13.5

求 $\sin (θ)$ 的周期。

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解题步骤 13.5.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 13.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 13.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 13.5.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 13.6

将 $360$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 13.6.1

将 $360$ 加到 $- 90$ 以求正角。

$- 90 + 360$

解题步骤 13.6.2

从 $360$ 中减去 $90$ 。

$270$

解题步骤 13.6.3

列出新角。

$θ = 270$

解题步骤 13.7

$\sin (θ)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$θ = 270 + 360 n, 270 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 14

列出所有解。

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n, 270 + 360 n, 270 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 15

合并答案。

$θ = 30 + 120 n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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