三角学示例

$(\frac{1}{5}, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(\frac{1}{5}, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$ 之间）之间的 $\csc (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(\frac{1}{5}, 0)$ 和 $(\frac{1}{5}, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$ 三点之间的三角形。

取反： $- \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

邻边： $\frac{1}{5}$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

对 $\frac{1}{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{6}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.2

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{\frac{1}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{6}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{25} + {(- \frac{2 \sqrt{6}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.4.1

对 $- \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1}{25} + {(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{6}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

对 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1}{25} + {(- 1)}^{2} \frac{{(2 \sqrt{6})}^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.4.3

对 $2 \sqrt{6}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1}{25} + {(- 1)}^{2} \frac{2^{2} {\sqrt{6}}^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.5

化简表达式。

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解题步骤 2.5.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{25} + 1 \frac{2^{2} {\sqrt{6}}^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.5.2

将 $\frac{2^{2} {\sqrt{6}}^{2}}{5^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{2^{2} {\sqrt{6}}^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4 {\sqrt{6}}^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.6.2

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 2.6.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.6.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.6.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.6.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.6.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4 \cdot 6^{1}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.6.2.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4 \cdot 6}{5^{2}}}$

解题步骤 2.7

化简表达式。

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解题步骤 2.7.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4 \cdot 6}{25}}$

解题步骤 2.7.2

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{24}{25}}$

解题步骤 2.7.3

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{1 + 24}{25}}$

解题步骤 2.7.4

将 $1$ 和 $24$ 相加。

$\sqrt{\frac{25}{25}}$

解题步骤 2.7.5

用 $25$ 除以 $25$ 。

$\sqrt{1}$

解题步骤 2.7.6

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$1$

解题步骤 3

因为 $\csc (θ) = \frac{斜边}{取反}$ ，所以 $\csc (θ) = \frac{1}{- \frac{2 \sqrt{6}}{5}}$ 。

$\frac{1}{- \frac{2 \sqrt{6}}{5}}$

解题步骤 4

化简 $\csc (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\csc (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{2 \sqrt{6}}{5}}$

解题步骤 4.1.2

将负号移到分数的前面。

$\csc (θ) = - \frac{1}{\frac{2 \sqrt{6}}{5}}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$\csc (θ) = - (1 (\frac{5}{2 \sqrt{6}}))$

解题步骤 4.3

将 $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ 乘以 $1$ 。

$\csc (θ) = - \frac{5}{2 \sqrt{6}}$

解题步骤 4.4

将 $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$\csc (θ) = - (\frac{5}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

解题步骤 4.5

合并和化简分母。

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解题步骤 4.5.1

将 $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

解题步骤 4.5.2

移动 $\sqrt{6}$ 。

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

解题步骤 4.5.3

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

解题步骤 4.5.4

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

解题步骤 4.5.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.5.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

解题步骤 4.5.7

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 4.5.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.5.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.5.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.5.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.7.4.1

约去公因数。

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.5.7.4.2

重写表达式。

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.5.7.5

计算指数。

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.6

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{12}$

解题步骤 5

求近似值。

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{12} \approx - 1.02062072$

三角学 示例

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