三角学示例

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ , $\cos (θ) = - \frac{1}{3}$

解题步骤 1

要求 $\tan (θ)$ 的值，请使用 $\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ 并代入已知值。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\frac{2 \sqrt{2}}{3}}{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 2

化简结果。

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解题步骤 2.1

将分子乘以分母的倒数。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot (- 1 \cdot 3)$

解题步骤 2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

从 $- 1 \cdot 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

解题步骤 2.2.2

约去公因数。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

解题步骤 2.2.3

重写表达式。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = 2 \sqrt{2} \cdot - 1$

解题步骤 2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = - 2 \sqrt{2}$

解题步骤 3

要求 $\cot (θ)$ 的值，请使用 $\frac{1}{\tan (θ)}$ 并代入已知值。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{1}{- 2 \sqrt{2}}$

解题步骤 4

化简结果。

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解题步骤 4.1

将负号移到分数的前面。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - (\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 4.3

合并和化简分母。

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解题步骤 4.3.1

将 $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 4.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 4.3.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 4.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 4.3.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.3.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.3.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.3.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.7.4.1

约去公因数。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.3.7.4.2

重写表达式。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.3.7.5

计算指数。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = - \frac{\sqrt{2}}{4}$

解题步骤 5

要求 $\sec (θ)$ 的值，请使用 $\frac{1}{\cos (θ)}$ 并代入已知值。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{1}{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 6

化简结果。

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解题步骤 6.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 6.1.2

将负号移到分数的前面。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = - \frac{1}{\frac{1}{3}}$

解题步骤 6.2

将分子乘以分母的倒数。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = - (1 \cdot 3)$

解题步骤 6.3

乘以 $- (1 \cdot 3)$ 。

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解题步骤 6.3.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = - 1 \cdot 3$

解题步骤 6.3.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = - 3$

解题步骤 7

要求 $\csc (θ)$ 的值，请使用 $\frac{1}{\sin (θ)}$ 并代入已知值。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{3}}$

解题步骤 8

化简结果。

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解题步骤 8.1

将分子乘以分母的倒数。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = 1 (\frac{3}{2 \sqrt{2}})$

解题步骤 8.2

将 $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3

将 $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 8.4

合并和化简分母。

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解题步骤 8.4.1

将 $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 8.4.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 8.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 8.4.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 8.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 8.4.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 8.4.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.4.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.4.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.4.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.7.4.1

约去公因数。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.4.7.4.2

重写表达式。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.4.7.5

计算指数。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 9

求得的三角函数如下：

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

$\cos (θ) = - \frac{1}{3}$

$\tan (θ) = - 2 \sqrt{2}$

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\sec (θ) = - 3$

$\csc (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

三角学 示例

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