三角学示例

$(5 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(5 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$ 之间）之间的 $\csc (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(5 \frac{1}{2}, 0)$ 和 $(5 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$ 三点之间的三角形。

取反： $- 2 \sqrt{15}$

邻边： $5 \frac{1}{2}$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

将 $5 \frac{1}{2}$ 转换为假分数。

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解题步骤 2.1.1

带分数是整数部分和分数部分相加所得的分数。

$\sqrt{{(5 + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $5$ 和 $\frac{1}{2}$ 相加。

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解题步骤 2.1.2.1

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\sqrt{{(5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.2

组合 $5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\sqrt{{(\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.3

在公分母上合并分子。

$\sqrt{{(\frac{5 \cdot 2 + 1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.4

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.4.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{{(\frac{10 + 1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.4.2

将 $10$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{{(\frac{11}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

解题步骤 2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1

对 $\frac{11}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{11^{2}}{2^{2}} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

对 $11$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{121}{2^{2}} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{121}{4} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

解题步骤 2.2.4

对 $- 2 \sqrt{15}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{121}{4} + {(- 2)}^{2} {\sqrt{15}}^{2}}$

解题步骤 2.2.5

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 {\sqrt{15}}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 ${\sqrt{15}}^{2}$ 重写为 $15$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{15}$ 重写成 $15^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.3.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{1}}$

解题步骤 2.3.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15}$

解题步骤 2.4

将 $4$ 乘以 $15$ 。

$\sqrt{\frac{121}{4} + 60}$

解题步骤 2.5

要将 $60$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{121}{4} + 60 \cdot \frac{4}{4}}$

解题步骤 2.6

组合 $60$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{121}{4} + \frac{60 \cdot 4}{4}}$

解题步骤 2.7

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{121 + 60 \cdot 4}{4}}$

解题步骤 2.8

化简分子。

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解题步骤 2.8.1

将 $60$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{\frac{121 + 240}{4}}$

解题步骤 2.8.2

将 $121$ 和 $240$ 相加。

$\sqrt{\frac{361}{4}}$

解题步骤 2.9

将 $\sqrt{\frac{361}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{361}}{\sqrt{4}}$ 。

$\frac{\sqrt{361}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 2.10

化简分子。

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解题步骤 2.10.1

将 $361$ 重写为 $19^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{19^{2}}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 2.10.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{19}{\sqrt{4}}$

解题步骤 2.11

化简分母。

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解题步骤 2.11.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{19}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 2.11.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{19}{2}$

解题步骤 3

因为 $\csc (θ) = \frac{斜边}{取反}$ ，所以 $\csc (θ) = \frac{\frac{19}{2}}{- 2 \sqrt{15}}$ 。

$\frac{\frac{19}{2}}{- 2 \sqrt{15}}$

解题步骤 4

化简 $\csc (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

将分子乘以分母的倒数。

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot \frac{1}{- 2 \sqrt{15}}$

解题步骤 4.2

将负号移到分数的前面。

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{1}{2 \sqrt{15}})$

解题步骤 4.3

将 $\frac{1}{2 \sqrt{15}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ 。

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- (\frac{1}{2 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}))$

解题步骤 4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 4.4.1

将 $\frac{1}{2 \sqrt{15}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ 。

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \sqrt{15} \sqrt{15}})$

解题步骤 4.4.2

移动 $\sqrt{15}$ 。

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

解题步骤 4.4.3

对 $\sqrt{15}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

解题步骤 4.4.4

对 $\sqrt{15}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

解题步骤 4.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{1 + 1}})$

解题步骤 4.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{2}})$

解题步骤 4.4.7

将 ${\sqrt{15}}^{2}$ 重写为 $15$ 。

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解题步骤 4.4.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{15}$ 重写成 $15^{\frac{1}{2}}$ 。

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 4.4.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 4.4.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 4.4.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.7.4.1

约去公因数。

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 4.4.7.4.2

重写表达式。

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15})$

解题步骤 4.4.7.5

计算指数。

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15})$

解题步骤 4.5

将 $2$ 乘以 $15$ 。

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{30})$

解题步骤 4.6

乘以 $\frac{19}{2} (- \frac{\sqrt{15}}{30})$ 。

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解题步骤 4.6.1

将 $\frac{19}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{15}}{30}$ 。

$\csc (θ) = - \frac{19 \sqrt{15}}{2 \cdot 30}$

解题步骤 4.6.2

将 $2$ 乘以 $30$ 。

$\csc (θ) = - \frac{19 \sqrt{15}}{60}$

解题步骤 5

求近似值。

$\csc (θ) = - \frac{19 \sqrt{15}}{60} \approx - 1.22644472$

三角学 示例

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