三角学示例

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x)$

解题步骤 1

化简表达式。

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解题步骤 1.1

将 $\sin^{4} (x)$ 重写为 ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ 。

${(\sin^{2} (x))}^{2} - \cos^{4} (x)$

解题步骤 1.2

将 $\cos^{4} (x)$ 重写为 ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ 。

${(\sin^{2} (x))}^{2} - {(\cos^{2} (x))}^{2}$

解题步骤 2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \sin^{2} (x)$ 和 $b = \cos^{2} (x)$ 。

$(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

解题步骤 3

使用勾股恒等式。

$1 (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

解题步骤 4

将 $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

解题步骤 5

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 6

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 7

代入 $a = \sin^{2} (x)$ 和 $b = - 1 \cos^{2} (x)$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(- 1 \cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

解题步骤 8

求 $| z |$ 。

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解题步骤 8.1

将 $- 1 \cos^{2} (x)$ 重写为 $- \cos^{2} (x)$ 。

$| z | = \sqrt{{(- \cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

解题步骤 8.2

对 $- \cos^{2} (x)$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

解题步骤 8.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{1 {(\cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

解题步骤 8.4

将 ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{{(\cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

解题步骤 8.5

将 ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \sqrt{{\cos (x)}^{2 \cdot 2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

解题步骤 8.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

解题步骤 8.6

将 ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + {\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 8.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)}$

解题步骤 9

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})$

解题步骤 10

代入 $θ = \arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})$ 和 $| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)}$ 的值。

$\sqrt{\cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)} (\cos (\arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})) + i \sin (\arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})))$

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