三角学示例

$3 \sin^{2} (x) - \sin (x) = 1$

解题步骤 1

代入 $u$ 替换 $\sin (x)$ 。

$3 {(u)}^{2} - (u) = 1$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$3 u^{2} - u - 1 = 0$

解题步骤 3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4

将 $a = 3$ 、 $b = - 1$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.1.3

将 $1$ 和 $12$ 相加。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

解题步骤 6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 6.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 6.1.3

将 $1$ 和 $12$ 相加。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

解题步骤 6.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$u = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

解题步骤 7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.1.3

将 $1$ 和 $12$ 相加。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

解题步骤 7.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$u = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

解题步骤 8

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

解题步骤 9

代入 $\sin (x)$ 替换 $u$ 。

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

解题步骤 10

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

解题步骤 11

在 $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{13}}{6})$

解题步骤 11.2

化简右边。

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解题步骤 11.2.1

计算 $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{13}}{6})$ 。

$x = 50.13813146$

解题步骤 11.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = 180 - 50.13813146$

解题步骤 11.4

从 $180$ 中减去 $50.13813146$ 。

$x = 129.86186853$

解题步骤 11.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 11.5.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 11.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 11.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 11.5.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 11.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$x = 50.13813146 + 360 n, 129.86186853 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12

在 $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{13}}{6})$

解题步骤 12.2

化简右边。

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解题步骤 12.2.1

计算 $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{13}}{6})$ 。

$x = - 25.73812338$

解题步骤 12.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = 180 + 25.73812338$

解题步骤 12.4

将 $180$ 和 $25.73812338$ 相加。

$x = 205.73812338$

解题步骤 12.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 12.5.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 12.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 12.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 12.5.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 12.6

将 $360$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 12.6.1

将 $360$ 加到 $- 25.73812338$ 以求正角。

$- 25.73812338 + 360$

解题步骤 12.6.2

从 $360$ 中减去 $25.73812338$ 。

$334.26187661$

解题步骤 12.6.3

列出新角。

$x = 334.26187661$

解题步骤 12.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$x = 205.73812338 + 360 n, 334.26187661 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

列出所有解。

$x = 50.13813146 + 360 n, 129.86186853 + 360 n, 205.73812338 + 360 n, 334.26187661 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

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