三角学示例

$(\frac{2 \sqrt{13}}{13}, - \frac{3 \sqrt{13}}{13})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(\frac{2 \sqrt{13}}{13}, - \frac{3 \sqrt{13}}{13})$ 之间）之间的 $\csc (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(\frac{2 \sqrt{13}}{13}, 0)$ 和 $(\frac{2 \sqrt{13}}{13}, - \frac{3 \sqrt{13}}{13})$ 三点之间的三角形。

取反： $- \frac{3 \sqrt{13}}{13}$

邻边： $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.1

对 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{{(2 \sqrt{13})}^{2}}{13^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

对 $2 \sqrt{13}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{2^{2} {\sqrt{13}}^{2}}{13^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

解题步骤 2.2

化简分子。

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解题步骤 2.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{4 {\sqrt{13}}^{2}}{13^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

将 ${\sqrt{13}}^{2}$ 重写为 $13$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{13}$ 重写成 $13^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{4 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}{13^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{4 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{13^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{4 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}{13^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{4 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}{13^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{4 \cdot 13^{1}}{13^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{4 \cdot 13}{13^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

解题步骤 2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.3.1

对 $13$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{4 \cdot 13}{169} + {(- \frac{3 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

将 $4$ 乘以 $13$ 。

$\sqrt{\frac{52}{169} + {(- \frac{3 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

约去 $52$ 和 $169$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1

从 $52$ 中分解出因数 $13$ 。

$\sqrt{\frac{13 (4)}{169} + {(- \frac{3 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.1

从 $169$ 中分解出因数 $13$ 。

$\sqrt{\frac{13 \cdot 4}{13 \cdot 13} + {(- \frac{3 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{13 \cdot 4}{13 \cdot 13} + {(- \frac{3 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{4}{13} + {(- \frac{3 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.4.1

对 $- \frac{3 \sqrt{13}}{13}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{4}{13} + {(- 1)}^{2} {(\frac{3 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

对 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{4}{13} + {(- 1)}^{2} \frac{{(3 \sqrt{13})}^{2}}{13^{2}}}$

解题步骤 2.4.3

对 $3 \sqrt{13}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{4}{13} + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2} {\sqrt{13}}^{2}}{13^{2}}}$

解题步骤 2.5

化简表达式。

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解题步骤 2.5.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{4}{13} + 1 \frac{3^{2} {\sqrt{13}}^{2}}{13^{2}}}$

解题步骤 2.5.2

将 $\frac{3^{2} {\sqrt{13}}^{2}}{13^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{4}{13} + \frac{3^{2} {\sqrt{13}}^{2}}{13^{2}}}$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{4}{13} + \frac{9 {\sqrt{13}}^{2}}{13^{2}}}$

解题步骤 2.6.2

将 ${\sqrt{13}}^{2}$ 重写为 $13$ 。

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解题步骤 2.6.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{13}$ 重写成 $13^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{4}{13} + \frac{9 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}{13^{2}}}$

解题步骤 2.6.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{4}{13} + \frac{9 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{13^{2}}}$

解题步骤 2.6.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{4}{13} + \frac{9 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}{13^{2}}}$

解题步骤 2.6.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{4}{13} + \frac{9 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}{13^{2}}}$

解题步骤 2.6.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{4}{13} + \frac{9 \cdot 13^{1}}{13^{2}}}$

解题步骤 2.6.2.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{4}{13} + \frac{9 \cdot 13}{13^{2}}}$

解题步骤 2.7

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.7.1

对 $13$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{4}{13} + \frac{9 \cdot 13}{169}}$

解题步骤 2.7.2

将 $9$ 乘以 $13$ 。

$\sqrt{\frac{4}{13} + \frac{117}{169}}$

解题步骤 2.7.3

约去 $117$ 和 $169$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.3.1

从 $117$ 中分解出因数 $13$ 。

$\sqrt{\frac{4}{13} + \frac{13 (9)}{169}}$

解题步骤 2.7.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.7.3.2.1

从 $169$ 中分解出因数 $13$ 。

$\sqrt{\frac{4}{13} + \frac{13 \cdot 9}{13 \cdot 13}}$

解题步骤 2.7.3.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{4}{13} + \frac{13 \cdot 9}{13 \cdot 13}}$

解题步骤 2.7.3.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{4}{13} + \frac{9}{13}}$

解题步骤 2.7.4

化简表达式。

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解题步骤 2.7.4.1

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{4 + 9}{13}}$

解题步骤 2.7.4.2

将 $4$ 和 $9$ 相加。

$\sqrt{\frac{13}{13}}$

解题步骤 2.7.4.3

用 $13$ 除以 $13$ 。

$\sqrt{1}$

解题步骤 2.7.4.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$1$

解题步骤 3

因为 $\csc (θ) = \frac{斜边}{取反}$ ，所以 $\csc (θ) = \frac{1}{- \frac{3 \sqrt{13}}{13}}$ 。

$\frac{1}{- \frac{3 \sqrt{13}}{13}}$

解题步骤 4

化简 $\csc (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\csc (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{3 \sqrt{13}}{13}}$

解题步骤 4.1.2

将负号移到分数的前面。

$\csc (θ) = - \frac{1}{\frac{3 \sqrt{13}}{13}}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$\csc (θ) = - (1 (\frac{13}{3 \sqrt{13}}))$

解题步骤 4.3

将 $\frac{13}{3 \sqrt{13}}$ 乘以 $1$ 。

$\csc (θ) = - \frac{13}{3 \sqrt{13}}$

解题步骤 4.4

将 $\frac{13}{3 \sqrt{13}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ 。

$\csc (θ) = - (\frac{13}{3 \sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}})$

解题步骤 4.5

合并和化简分母。

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解题步骤 4.5.1

将 $\frac{13}{3 \sqrt{13}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ 。

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{3 \sqrt{13} \sqrt{13}}$

解题步骤 4.5.2

移动 $\sqrt{13}$ 。

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{3 (\sqrt{13} \sqrt{13})}$

解题步骤 4.5.3

对 $\sqrt{13}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{3 (\sqrt{13} \sqrt{13})}$

解题步骤 4.5.4

对 $\sqrt{13}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{3 (\sqrt{13} \sqrt{13})}$

解题步骤 4.5.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{3 {\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.5.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{3 {\sqrt{13}}^{2}}$

解题步骤 4.5.7

将 ${\sqrt{13}}^{2}$ 重写为 $13$ 。

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解题步骤 4.5.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{13}$ 重写成 $13^{\frac{1}{2}}$ 。

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{3 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.5.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{3 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.5.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{3 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.5.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.7.4.1

约去公因数。

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{3 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.5.7.4.2

重写表达式。

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{3 \cdot 13}$

解题步骤 4.5.7.5

计算指数。

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{3 \cdot 13}$

解题步骤 4.6

约去 $13$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.1

约去公因数。

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{3 \cdot 13}$

解题步骤 4.6.2

重写表达式。

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{13}}{3}$

解题步骤 5

求近似值。

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{13}}{3} \approx - 1.20185042$

三角学 示例

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