三角学示例

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x)$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

因为 $\cot (- x)$ 是一个奇函数，所以将 $\cot (- x)$ 重写成 $- \cot (x)$ 。

$- \cot (x) \cos (- x) + \sin (- x)$

解题步骤 1.2

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (- x) + \sin (- x)$

解题步骤 1.3

因为 $\cos (- x)$ 是一个偶函数，所以将 $\cos (- x)$ 重写成 $\cos (x)$ 。

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) + \sin (- x)$

解题步骤 1.4

乘以 $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.4.1

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (- x)$

解题步骤 1.4.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (- x)$

解题步骤 1.4.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} + \sin (- x)$

解题步骤 1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} + \sin (- x)$

解题步骤 1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (- x)$

解题步骤 1.5

因为 $\sin (- x)$ 是一个奇函数，所以将 $\sin (- x)$ 重写成 $- \sin (x)$ 。

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

解题步骤 2.2

分离分数。

$- (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \sin (x)$

解题步骤 2.3

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$- (\frac{\cos (x)}{1} \cot (x)) - \sin (x)$

解题步骤 2.4

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$- \cos (x) \cot (x) - \sin (x)$

解题步骤 3

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 4

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5

代入 $a = - \cos (x) \cot (x)$ 和 $b = - 1 \sin (x)$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(- 1 \sin (x))}^{2} + {(- \cos (x) \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6

求 $| z |$ 。

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解题步骤 6.1

将 $- 1 \sin (x)$ 重写为 $- \sin (x)$ 。

$| z | = \sqrt{{(- \sin (x))}^{2} + {(- \cos (x) \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2

对 $- \sin (x)$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} \sin^{2} (x) + {(- \cos (x) \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{1 \sin^{2} (x) + {(- \cos (x) \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4

将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- \cos (x) \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.5

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

解题步骤 6.6

乘以 $- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 6.6.1

组合 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 和 $\cos (x)$ 。

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

解题步骤 6.6.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

解题步骤 6.6.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

解题步骤 6.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)})}^{2}}$

解题步骤 6.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

解题步骤 6.7

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.7.1

对 $- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- 1)}^{2} {(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

解题步骤 6.7.2

对 $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + {(- 1)}^{2} (\frac{{(\cos^{2} (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)})}$

解题步骤 6.8

化简表达式。

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解题步骤 6.8.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + 1 (\frac{{(\cos^{2} (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)})}$

解题步骤 6.8.2

将 $\frac{{(\cos^{2} (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}$ 乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \frac{{(\cos^{2} (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 6.8.3

将 ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.8.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \frac{{\cos (x)}^{2 \cdot 2}}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 6.8.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 6.9

化简每一项。

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解题步骤 6.9.1

从 $\cos^{4} (x)$ 中分解出因数 $\cos^{2} (x)$ 。

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 6.9.2

乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cdot 1}}$

解题步骤 6.9.3

分离分数。

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 6.9.4

将 $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 转换成 $\cot^{2} (x)$ 。

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \cot^{2} (x)}$

解题步骤 6.9.5

用 $\cos^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \cot^{2} (x)}$

解题步骤 7

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{- 1 \sin (x)}{- \cos (x) \cot (x)})$

解题步骤 8

代入 $θ = \arctan (\frac{- 1 \sin (x)}{- \cos (x) \cot (x)})$ 和 $| z | = \sqrt{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \cot^{2} (x)}$ 的值。

$\sqrt{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \cot^{2} (x)} (\cos (\arctan (\frac{- 1 \sin (x)}{- \cos (x) \cot (x)})) + i \sin (\arctan (\frac{- 1 \sin (x)}{- \cos (x) \cot (x)})))$

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