三角学示例

$\cot (θ) + \csc (θ) = \frac{\sin (θ) + \tan (θ)}{\sin (θ) \tan (θ)}$

解题步骤 1

从右边开始。

$\frac{\sin (θ) + \tan (θ)}{\sin (θ) \tan (θ)}$

解题步骤 2

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 2.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (θ)$ 。

$\frac{\sin (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \tan (θ)}$

解题步骤 2.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (θ)$ 。

$\frac{\sin (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

从 $\sin (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ 中分解出因数 $\sin (θ)$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

解题步骤 3.1.1.2

从 $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ 中分解出因数 $\sin (θ)$ 。

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) \frac{1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

解题步骤 3.1.1.3

从 $\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) \frac{1}{\cos (θ)}$ 中分解出因数 $\sin (θ)$ 。

$\frac{\sin (θ) (1 + \frac{1}{\cos (θ)})}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

解题步骤 3.1.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\sin (θ) (\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)})}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

解题步骤 3.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

解题步骤 3.2

组合 $\sin (θ)$ 和 $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ 。

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)}}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{1} \sin (θ)}{\cos (θ)}}$

解题步骤 3.3.2

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{1} {\sin (θ)}^{1}}{\cos (θ)}}$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ)}}$

解题步骤 3.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{2}}{\cos (θ)}}$

解题步骤 3.4

组合 $\sin (θ)$ 和 $\frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}$ 。

$\frac{\frac{\sin (θ) (\cos (θ) + 1)}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{2}}{\cos (θ)}}$

解题步骤 3.5

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\sin (θ) (\cos (θ) + 1)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{{\sin (θ)}^{2}}$

解题步骤 3.6

合并。

$\frac{\sin (θ) (\cos (θ) + 1) \cos (θ)}{\cos (θ) {\sin (θ)}^{2}}$

解题步骤 3.7

约去 $\sin (θ)$ 和 ${\sin (θ)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.1

从 $\sin (θ) (\cos (θ) + 1) \cos (θ)$ 中分解出因数 $\sin (θ)$ 。

$\frac{\sin (θ) ((\cos (θ) + 1) \cos (θ))}{\cos (θ) {\sin (θ)}^{2}}$

解题步骤 3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 3.7.2.1

从 $\cos (θ) {\sin (θ)}^{2}$ 中分解出因数 $\sin (θ)$ 。

$\frac{\sin (θ) ((\cos (θ) + 1) \cos (θ))}{\sin (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

解题步骤 3.7.2.2

约去公因数。

$\frac{\sin (θ) ((\cos (θ) + 1) \cos (θ))}{\sin (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

解题步骤 3.7.2.3

重写表达式。

$\frac{(\cos (θ) + 1) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 3.8

约去 $\cos (θ)$ 的公因数。

$\frac{\cos (θ) + 1}{\sin (θ)}$

解题步骤 4

现在考虑方程的左边。

$\cot (θ) + \csc (θ)$

解题步骤 5

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 5.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (θ)$ 。

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \csc (θ)$

解题步骤 5.2

对 $\csc (θ)$ 使用倒数恒等式。

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)}$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{\cos (θ) + 1}{\sin (θ)}$

解题步骤 7

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\cot (θ) + \csc (θ) = \frac{\sin (θ) + \tan (θ)}{\sin (θ) \tan (θ)}$ 是一个恒等式

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