三角学示例

$\tan^{2} (θ) - 6 \tan (θ) + 5 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使 $u = \tan (θ)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\tan (θ)$ 。

$u^{2} - 6 u + 5 = 0$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $u^{2} - 6 u + 5$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $5$ ，和为 $- 6$ 。

$- 5, - 1$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 5) (u - 1) = 0$

解题步骤 1.3

使用 $\tan (θ)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(\tan (θ) - 5) (\tan (θ) - 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\tan (θ) - 5 = 0$

$\tan (θ) - 1 = 0$

解题步骤 3

将 $\tan (θ) - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $\tan (θ) - 5$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (θ) - 5 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $θ$ 的 $\tan (θ) - 5 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$\tan (θ) = 5$

解题步骤 3.2.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $θ$ 。

$θ = \arctan (5)$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.3.1

计算 $\arctan (5)$ 。

$θ = 78.69006752$

解题步骤 3.2.4

正切函数在第一和第三象限为正值。若要求第二个解，应从 $180$ 中减去参考角以求得第四象限中的解。

$θ = 180 + 78.69006752$

解题步骤 3.2.5

将 $180$ 和 $78.69006752$ 相加。

$θ = 258.69006752$

解题步骤 3.2.6

求 $\tan (θ)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{180}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{180}{| b |}$

解题步骤 3.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{180}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{180}{1}$

解题步骤 3.2.6.4

用 $180$ 除以 $1$ 。

$180$

解题步骤 3.2.7

$\tan (θ)$ 函数的周期为 $180$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $180$ 度数重复出现。

$θ = 78.69006752 + 180 n, 258.69006752 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

将 $\tan (θ) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $\tan (θ) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (θ) - 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $θ$ 的 $\tan (θ) - 1 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\tan (θ) = 1$

解题步骤 4.2.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $θ$ 。

$θ = \arctan (1)$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $45$ 。

$θ = 45$

解题步骤 4.2.4

正切函数在第一和第三象限为正值。若要求第二个解，应从 $180$ 中减去参考角以求得第四象限中的解。

$θ = 180 + 45$

解题步骤 4.2.5

将 $180$ 和 $45$ 相加。

$θ = 225$

解题步骤 4.2.6

求 $\tan (θ)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{180}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{180}{| b |}$

解题步骤 4.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{180}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{180}{1}$

解题步骤 4.2.6.4

用 $180$ 除以 $1$ 。

$180$

解题步骤 4.2.7

$\tan (θ)$ 函数的周期为 $180$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $180$ 度数重复出现。

$θ = 45 + 180 n, 225 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

最终解为使 $(\tan (θ) - 5) (\tan (θ) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$θ = 78.69006752 + 180 n, 258.69006752 + 180 n, 45 + 180 n, 225 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

合并答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 $78.69006752 + 180 n$ 和 $258.69006752 + 180 n$ 合并为 $78.69006752 + 180 n$ 。

$θ = 78.69006752 + 180 n, 45 + 180 n, 225 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6.2

将 $45 + 180 n$ 和 $225 + 180 n$ 合并为 $45 + 180 n$ 。

$θ = 78.69006752 + 180 n, 45 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

三角学示例