三角学示例

$\cos^{2} (x) (\tan (x) - \sec (x)) (\tan (x) + \sec (x)) = \sin^{2} (x) - 1$

解题步骤 1

从左边开始。

$\cos^{2} (x) (\tan (x) - \sec (x)) (\tan (x) + \sec (x))$

解题步骤 2

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 2.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

$\cos^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sec (x)) (\tan (x) + \sec (x))$

解题步骤 2.2

对 $\sec (x)$ 使用倒数恒等式。

$\cos^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) + \sec (x))$

解题步骤 2.3

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

$\cos^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x))$

解题步骤 2.4

对 $\sec (x)$ 使用倒数恒等式。

$\cos^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$({\cos (x)}^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{2} (- \frac{1}{\cos (x)})) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 3.2

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

从 ${\cos (x)}^{2}$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$(\cos (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{2} (- \frac{1}{\cos (x)})) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 3.2.2

约去公因数。

$(\cos (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{2} (- \frac{1}{\cos (x)})) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 3.2.3

重写表达式。

$(\cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{2} (- \frac{1}{\cos (x)})) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 3.3

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \frac{1}{\cos (x)}$ 中前置负号移到分子中。

$(\cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{2} \frac{- 1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 3.3.2

从 ${\cos (x)}^{2}$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$(\cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) \frac{- 1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 3.3.3

约去公因数。

$(\cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) \frac{- 1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 3.3.4

重写表达式。

$(\cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cdot - 1) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 3.4

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1

将 $- 1$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$(\cos (x) \sin (x) - 1 \cdot \cos (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 3.4.2

将 $- 1 \cos (x)$ 重写为 $- \cos (x)$ 。

$(\cos (x) \sin (x) - \cos (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 3.5

使用 FOIL 方法展开 $(\cos (x) \sin (x) - \cos (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$ 。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$\cos (x) \sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}) - \cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 3.5.2

运用分配律。

$\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 3.5.3

运用分配律。

$\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 3.6

化简并合并同类项。

$\sin^{2} (x) - 1$

解题步骤 4

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\cos^{2} (x) (\tan (x) - \sec (x)) (\tan (x) + \sec (x)) = \sin^{2} (x) - 1$ 是一个恒等式

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