三角学示例

$\frac{1}{1 + \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)} = - 2 \cot^{2} (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{1}{1 + \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)}$

解题步骤 2

加上分数。

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解题步骤 2.1

要将 $\frac{1}{1 + \sec (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$ 。

$\frac{1}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)}$

解题步骤 2.2

要将 $\frac{1}{1 - \sec (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$ 。

$\frac{1}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)} \cdot \frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$

解题步骤 2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))$ 的形式。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{1}{1 + \sec (x)}$ 乘以 $\frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$ 。

$\frac{1 - \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))} + \frac{1}{1 - \sec (x)} \cdot \frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{1 - \sec (x)}$ 乘以 $\frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$ 。

$\frac{1 - \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))} + \frac{1 + \sec (x)}{(1 - \sec (x)) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 2.3.3

重新排序 $(1 - \sec (x)) (1 + \sec (x))$ 的因式。

$\frac{1 - \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))} + \frac{1 + \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - \sec (x) + 1 + \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 - \sec (x) + \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

解题步骤 3.2

将 $- \sec (x)$ 和 $\sec (x)$ 相加。

$\frac{2 + 0}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

解题步骤 3.3

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))$ 。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{2}{1 (1 - \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

解题步骤 4.1.2

运用分配律。

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}$

解题步骤 4.2

化简并合并同类项。

$\frac{2}{1 - \sec^{2} (x)}$

解题步骤 5

使用勾股恒等式。

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解题步骤 5.1

将 $1$ 和 $- \sec^{2} (x)$ 重新排序。

$\frac{2}{- \sec^{2} (x) + 1}$

解题步骤 5.2

从 $- \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2}{- (\sec^{2} (x)) + 1}$

解题步骤 5.3

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{2}{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

解题步骤 5.4

从 $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2}{- (\sec^{2} (x) - 1)}$

解题步骤 5.5

使用勾股恒等式。

$\frac{2}{- \tan^{2} (x)}$

解题步骤 6

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 6.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

$\frac{2}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

解题步骤 6.2

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{2}{- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将分子乘以分母的倒数。

$2 (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

解题步骤 7.2

乘以 $2 (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$ 。

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解题步骤 7.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ 。

$\frac{- 2 {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 8

将 $- 1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 9

合并。

$\frac{- (2 \cos^{2} (x))}{1 \sin^{2} (x)}$

解题步骤 10

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{1 \sin^{2} (x)}$

解题步骤 11

将 ${\sin (x)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 13

现在，考虑等式的右边。

$- 2 \cot^{2} (x)$

解题步骤 14

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 14.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (x)$ 。

$- 2 {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 14.2

对 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$- 2 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ 。

$\frac{- 2 {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 15.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 16

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{1}{1 + \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)} = - 2 \cot^{2} (x)$ 是一个恒等式

三角学 示例

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