三角学示例

$\frac{2 + \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} - 1$

解题步骤 1

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 2

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 3

代入 $a = \frac{2 + \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}$ 和 $b = - 1$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(\frac{2 + \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)})}^{2}}$

解题步骤 4

求 $| z |$ 。

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解题步骤 4.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{1 + {(\frac{2 + \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)})}^{2}}$

解题步骤 4.2

对 $\frac{2 + \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{1 + \frac{{(2 + \tan^{2} (x))}^{2}}{{(\sec^{2} (x))}^{2}}}$

解题步骤 4.3

将 ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \sqrt{1 + \frac{{(2 + \tan^{2} (x))}^{2}}{{\sec (x)}^{2 \cdot 2}}}$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$| z | = \sqrt{1 + \frac{{(2 + \tan^{2} (x))}^{2}}{\sec^{4} (x)}}$

解题步骤 5

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{- 1}{\frac{2 + \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}})$

解题步骤 6

代入 $θ = \arctan (\frac{- 1}{\frac{2 + \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}})$ 和 $| z | = \sqrt{1 + \frac{{(2 + \tan^{2} (x))}^{2}}{\sec^{4} (x)}}$ 的值。

$\sqrt{1 + \frac{{(2 + \tan^{2} (x))}^{2}}{\sec^{4} (x)}} (\cos (\arctan (\frac{- 1}{\frac{2 + \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}})) + i \sin (\arctan (\frac{- 1}{\frac{2 + \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}})))$

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