三角学示例

$\cos (θ) + \sin (θ)$

解题步骤 1

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 2

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 3

代入 $a = \cos (θ)$ 和 $b = \sin (θ)$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)}$

解题步骤 4

求 $| z |$ 。

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解题步骤 4.1

使用勾股恒等式。

$| z | = \sqrt{1}$

解题步骤 4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$| z | = 1$

解题步骤 5

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

解题步骤 6

代入 $θ = \arctan (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$ 和 $| z | = 1$ 的值。

$\cos (\arctan (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})) + i \sin (\arctan (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}))$

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