三角学示例

sec (θ) = - 3

$\sec (θ) = - 3$ ,

$\tan (θ) > 0$

解题步骤 1

The tangent function is positive in the first and third quadrants. The secant function is negative in the second and third quadrants. The set of solutions for

$θ$ are limited to the third quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

解位于第三象限。

解题步骤 2

使用正割的定义求单位圆直角三角形的已知边。象限将决定每一个值的符号。

$\sec (θ) = \frac{斜边}{相邻}$

解题步骤 3

求单位圆三角形的对边。因为已知邻边和斜边，可以使用勾股定理求第三边。

$取反 = - \sqrt{{斜边}^{2} - {相邻}^{2}}$

解题步骤 4

替换方程中的已知值。

$取反 = - \sqrt{{(3)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5

化简根式内部。

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解题步骤 5.1

对

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$ 取反。

对边

$= - \sqrt{{(3)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

对边

$= - \sqrt{9 - {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.3

通过指数相加将

$- 1$ 乘以

${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1

将

$- 1$ 乘以

${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.1

对

$- 1$ 进行

$1$ 次方运算。

对边

$= - \sqrt{9 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

对边

$= - \sqrt{9 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

对边

$= - \sqrt{9 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

解题步骤 5.3.2

将

$1$ 和

$2$ 相加。

对边

$= - \sqrt{9 + {(- 1)}^{3}}$

对边

$= - \sqrt{9 + {(- 1)}^{3}}$

解题步骤 5.4

对

$- 1$ 进行

$3$ 次方运算。

对边

$= - \sqrt{9 - 1}$

解题步骤 5.5

从

$9$ 中减去

$1$ 。

对边

$= - \sqrt{8}$

解题步骤 5.6

将

$8$ 重写为

$2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.6.1

从

$8$ 中分解出因数

$4$ 。

对边

$= - \sqrt{4 (2)}$

解题步骤 5.6.2

将

$4$ 重写为

$2^{2}$ 。

对边

$= - \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

对边

$= - \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

解题步骤 5.7

从根式下提出各项。

对边

$= - (2 \sqrt{2})$

解题步骤 5.8

将

$2$ 乘以

$- 1$ 。

对边

$= - 2 \sqrt{2}$

对边

$= - 2 \sqrt{2}$

解题步骤 6

求正弦值。

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解题步骤 6.1

使用正弦的定义求

$\sin (θ)$ 的值。

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

解题步骤 6.2

代入已知值。

$\sin (θ) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 6.3

将负号移到分数的前面。

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 7

求余弦值。

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解题步骤 7.1

使用余弦的定义求

$\cos (θ)$ 的值。

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

解题步骤 7.2

代入已知值。

$\cos (θ) = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 7.3

将负号移到分数的前面。

$\cos (θ) = - \frac{1}{3}$

解题步骤 8

求正切值。

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解题步骤 8.1

使用正切的定义求

$\tan (θ)$ 的值。

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

解题步骤 8.2

代入已知值。

$\tan (θ) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 8.3

化简

$\tan (θ)$ 的值。

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解题步骤 8.3.1

移动

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$\tan (θ) = - 1 \cdot (- 2 \sqrt{2})$

解题步骤 8.3.2

将

$- 1 \cdot (- 2 \sqrt{2})$ 重写为

$- (- 2 \sqrt{2})$ 。

$\tan (θ) = - (- 2 \sqrt{2})$

解题步骤 8.3.3

将

$- 2$ 乘以

$- 1$ 。

$\tan (θ) = 2 \sqrt{2}$

解题步骤 9

求余切值。

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解题步骤 9.1

使用余切的定义求

$\cot (θ)$ 的值。

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

解题步骤 9.2

代入已知值。

$\cot (θ) = \frac{- 1}{- 2 \sqrt{2}}$

解题步骤 9.3

化简

$\cot (θ)$ 的值。

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解题步骤 9.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\cot (θ) = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 9.3.2

将

$\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\cot (θ) = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 9.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 9.3.3.1

将

$\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 9.3.3.2

移动

$\sqrt{2}$ 。

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 9.3.3.3

对

$\sqrt{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 9.3.3.4

对

$\sqrt{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 9.3.3.5

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.3.3.6

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 9.3.3.7

将

${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为

$2$ 。

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解题步骤 9.3.3.7.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{2}$ 重写成

$2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.3.3.7.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.3.3.7.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.7.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.7.4.1

约去公因数。

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.7.4.2

重写表达式。

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.3.3.7.5

计算指数。

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.3.4

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{4}$

解题步骤 10

求余割值。

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解题步骤 10.1

使用余割的定义求

$\csc (θ)$ 的值。

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

解题步骤 10.2

代入已知值。

$\csc (θ) = \frac{3}{- 2 \sqrt{2}}$

解题步骤 10.3

化简

$\csc (θ)$ 的值。

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解题步骤 10.3.1

将负号移到分数的前面。

$\csc (θ) = - \frac{3}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 10.3.2

将

$\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\csc (θ) = - (\frac{3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 10.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 10.3.3.1

将

$\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 10.3.3.2

移动

$\sqrt{2}$ 。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 10.3.3.3

对

$\sqrt{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 10.3.3.4

对

$\sqrt{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 10.3.3.5

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 10.3.3.6

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 10.3.3.7

将

${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为

$2$ 。

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解题步骤 10.3.3.7.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{2}$ 重写成

$2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 10.3.3.7.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 10.3.3.7.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 10.3.3.7.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.3.7.4.1

约去公因数。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 10.3.3.7.4.2

重写表达式。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 10.3.3.7.5

计算指数。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 10.3.4

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 11

这是各个三角函数值的解。

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

$\cos (θ) = - \frac{1}{3}$

$\tan (θ) = 2 \sqrt{2}$

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\sec (θ) = - 3$

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

三角学 示例

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