三角学示例

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{8}$

解题步骤 1

使用余切的定义求单位元直角三角形的已知边。象限将确定每一个值得符号。

$\cot (θ) = \frac{相邻}{对边}$

解题步骤 2

求单位圆三角形的斜边。由于已知相对边和相邻边，所以可以使用勾股定理求第三条边。

$斜边 = \sqrt{{对边}^{2} + {相邻}^{2}}$

解题步骤 3

替换方程中的已知值。

$斜边 = \sqrt{{(8)}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 4

化简根式内部。

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解题步骤 4.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

斜边 $= \sqrt{64 + {(- \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 4.2

对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

斜边 $= \sqrt{64 + {(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 4.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

斜边 $= \sqrt{64 + 1 {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 4.4

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

斜边 $= \sqrt{64 + {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 4.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

斜边 $= \sqrt{64 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

斜边 $= \sqrt{64 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

斜边 $= \sqrt{64 + 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.4.1

约去公因数。

斜边 $= \sqrt{64 + 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.5.4.2

重写表达式。

斜边 $= \sqrt{64 + 3}$

解题步骤 4.5.5

计算指数。

斜边 $= \sqrt{64 + 3}$

解题步骤 4.6

将 $64$ 和 $3$ 相加。

斜边 $= \sqrt{67}$

解题步骤 5

求正弦值。

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解题步骤 5.1

使用正弦的定义求 $\sin (θ)$ 的值。

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

解题步骤 5.2

代入已知值。

$\sin (θ) = \frac{8}{\sqrt{67}}$

解题步骤 5.3

化简 $\sin (θ)$ 的值。

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解题步骤 5.3.1

将 $\frac{8}{\sqrt{67}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{8}{\sqrt{67}} \cdot \frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}}$

解题步骤 5.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $\frac{8}{\sqrt{67}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{67}}{\sqrt{67} \sqrt{67}}$

解题步骤 5.3.2.2

对 $\sqrt{67}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{67}}{\sqrt{67} \sqrt{67}}$

解题步骤 5.3.2.3

对 $\sqrt{67}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{67}}{\sqrt{67} \sqrt{67}}$

解题步骤 5.3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{67}}{{\sqrt{67}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{67}}{{\sqrt{67}}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.6

将 ${\sqrt{67}}^{2}$ 重写为 $67$ 。

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解题步骤 5.3.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{67}$ 重写成 $67^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{67}}{{(67^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{67}}{67^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.3.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{67}}{67^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.6.4.1

约去公因数。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{67}}{67^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.2.6.4.2

重写表达式。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{67}}{67}$

解题步骤 5.3.2.6.5

计算指数。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{67}}{67}$

解题步骤 6

求余弦值。

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解题步骤 6.1

使用余弦的定义求 $\cos (θ)$ 的值。

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

解题步骤 6.2

代入已知值。

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{\sqrt{67}}$

解题步骤 6.3

化简 $\cos (θ)$ 的值。

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解题步骤 6.3.1

将负号移到分数的前面。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{67}}$

解题步骤 6.3.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{67}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}}$ 。

$\cos (θ) = - (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{67}} \cdot \frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}})$

解题步骤 6.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 6.3.3.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{67}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}}$ 。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{\sqrt{67} \sqrt{67}}$

解题步骤 6.3.3.2

对 $\sqrt{67}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{\sqrt{67} \sqrt{67}}$

解题步骤 6.3.3.3

对 $\sqrt{67}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{\sqrt{67} \sqrt{67}}$

解题步骤 6.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{{\sqrt{67}}^{1 + 1}}$

解题步骤 6.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{{\sqrt{67}}^{2}}$

解题步骤 6.3.3.6

将 ${\sqrt{67}}^{2}$ 重写为 $67$ 。

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解题步骤 6.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{67}$ 重写成 $67^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{{(67^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{67^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 6.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{67^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{67^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{67}$

解题步骤 6.3.3.6.5

计算指数。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{67}$

解题步骤 6.3.4

化简分子。

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解题步骤 6.3.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3 \cdot 67}}{67}$

解题步骤 6.3.4.2

将 $3$ 乘以 $67$ 。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{201}}{67}$

解题步骤 7

求正切值。

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解题步骤 7.1

使用正切的定义求 $\tan (θ)$ 的值。

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

解题步骤 7.2

代入已知值。

$\tan (θ) = \frac{8}{- \sqrt{3}}$

解题步骤 7.3

化简 $\tan (θ)$ 的值。

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解题步骤 7.3.1

将负号移到分数的前面。

$\tan (θ) = - \frac{8}{\sqrt{3}}$

解题步骤 7.3.2

将 $\frac{8}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\tan (θ) = - (\frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

解题步骤 7.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 7.3.3.1

将 $\frac{8}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\tan (θ) = - \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 7.3.3.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan (θ) = - \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 7.3.3.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan (θ) = - \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 7.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\tan (θ) = - \frac{8 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\tan (θ) = - \frac{8 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 7.3.3.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 7.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\tan (θ) = - \frac{8 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\tan (θ) = - \frac{8 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\tan (θ) = - \frac{8 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\tan (θ) = - \frac{8 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\tan (θ) = - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 7.3.3.6.5

计算指数。

$\tan (θ) = - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 8

求正割值。

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解题步骤 8.1

使用正割的定义求 $\sec (θ)$ 的值。

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

解题步骤 8.2

代入已知值。

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{67}}{- \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3

化简 $\sec (θ)$ 的值。

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解题步骤 8.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.2

将 $\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\sec (θ) = - (\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

解题步骤 8.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 8.3.3.1

将 $\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.3.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.3.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 8.3.3.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 8.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 8.3.3.6.5

计算指数。

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 8.3.4

化简分子。

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解题步骤 8.3.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67 \cdot 3}}{3}$

解题步骤 8.3.4.2

将 $67$ 乘以 $3$ 。

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{201}}{3}$

解题步骤 9

求余割值。

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解题步骤 9.1

使用余割的定义求 $\csc (θ)$ 的值。

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

解题步骤 9.2

代入已知值。

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{67}}{8}$

解题步骤 10

这是各个三角函数值的解。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{67}}{67}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{201}}{67}$

$\tan (θ) = - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{8}$

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{201}}{3}$

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{67}}{8}$

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