三角学示例

sec (θ) = - \sqrt{10}

$\sec (θ) = - \sqrt{10}$ ,

$\cot (θ) > 0$

解题步骤 1

The cotangent function is positive in the first and third quadrants. The secant function is negative in the second and third quadrants. The set of solutions for

$θ$ are limited to the third quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

解位于第三象限。

解题步骤 2

使用正割的定义求单位圆直角三角形的已知边。象限将决定每一个值的符号。

$\sec (θ) = \frac{斜边}{相邻}$

解题步骤 3

求单位圆三角形的对边。因为已知邻边和斜边，可以使用勾股定理求第三边。

$取反 = - \sqrt{{斜边}^{2} - {相邻}^{2}}$

解题步骤 4

替换方程中的已知值。

$取反 = - \sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5

化简根式内部。

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解题步骤 5.1

对

$\sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$ 取反。

对边

$= - \sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2

将

${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为

$10$ 。

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解题步骤 5.2.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{10}$ 重写成

$10^{\frac{1}{2}}$ 。

对边

$= - \sqrt{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

对边

$= - \sqrt{10^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

对边

$= - \sqrt{10^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

对边

$= - \sqrt{10^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.4.2

重写表达式。

对边

$= - \sqrt{10 - {(- 1)}^{2}}$

对边

$= - \sqrt{10 - {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.5

计算指数。

对边

$= - \sqrt{10 - {(- 1)}^{2}}$

对边

$= - \sqrt{10 - {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.3

通过指数相加将

$- 1$ 乘以

${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1

将

$- 1$ 乘以

${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.1

对

$- 1$ 进行

$1$ 次方运算。

对边

$= - \sqrt{10 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

对边

$= - \sqrt{10 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

对边

$= - \sqrt{10 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

解题步骤 5.3.2

将

$1$ 和

$2$ 相加。

对边

$= - \sqrt{10 + {(- 1)}^{3}}$

对边

$= - \sqrt{10 + {(- 1)}^{3}}$

解题步骤 5.4

对

$- 1$ 进行

$3$ 次方运算。

对边

$= - \sqrt{10 - 1}$

解题步骤 5.5

从

$10$ 中减去

$1$ 。

对边

$= - \sqrt{9}$

解题步骤 5.6

将

$9$ 重写为

$3^{2}$ 。

对边

$= - \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 5.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

对边

$= - 1 \cdot 3$

解题步骤 5.8

将

$- 1$ 乘以

$3$ 。

对边

$= - 3$

对边

$= - 3$

解题步骤 6

求正弦值。

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解题步骤 6.1

使用正弦的定义求

$\sin (θ)$ 的值。

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

解题步骤 6.2

代入已知值。

$\sin (θ) = \frac{- 3}{\sqrt{10}}$

解题步骤 6.3

化简

$\sin (θ)$ 的值。

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解题步骤 6.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin (θ) = - \frac{3}{\sqrt{10}}$

解题步骤 6.3.2

将

$\frac{3}{\sqrt{10}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$\sin (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

解题步骤 6.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 6.3.3.1

将

$\frac{3}{\sqrt{10}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

解题步骤 6.3.3.2

对

$\sqrt{10}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

解题步骤 6.3.3.3

对

$\sqrt{10}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

解题步骤 6.3.3.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

解题步骤 6.3.3.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

解题步骤 6.3.3.6

将

${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为

$10$ 。

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解题步骤 6.3.3.6.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{10}$ 重写成

$10^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 6.3.3.6.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

解题步骤 6.3.3.6.5

计算指数。

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

解题步骤 7

求余弦值。

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解题步骤 7.1

使用余弦的定义求

$\cos (θ)$ 的值。

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

解题步骤 7.2

代入已知值。

$\cos (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{10}}$

解题步骤 7.3

化简

$\cos (θ)$ 的值。

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解题步骤 7.3.1

将负号移到分数的前面。

$\cos (θ) = - \frac{1}{\sqrt{10}}$

解题步骤 7.3.2

将

$\frac{1}{\sqrt{10}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$\cos (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

解题步骤 7.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 7.3.3.1

将

$\frac{1}{\sqrt{10}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

解题步骤 7.3.3.2

对

$\sqrt{10}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

解题步骤 7.3.3.3

对

$\sqrt{10}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

解题步骤 7.3.3.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.3.3.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

解题步骤 7.3.3.6

将

${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为

$10$ 。

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解题步骤 7.3.3.6.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{10}$ 重写成

$10^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.3.3.6.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.3.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

解题步骤 7.3.3.6.5

计算指数。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

解题步骤 8

求正切值。

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解题步骤 8.1

使用正切的定义求

$\tan (θ)$ 的值。

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

解题步骤 8.2

代入已知值。

$\tan (θ) = \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 8.3

用

$- 3$ 除以

$- 1$ 。

$\tan (θ) = 3$

解题步骤 9

求余切值。

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解题步骤 9.1

使用余切的定义求

$\cot (θ)$ 的值。

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

解题步骤 9.2

代入已知值。

$\cot (θ) = \frac{- 1}{- 3}$

解题步骤 9.3

将两个负数相除得到一个正数。

$\cot (θ) = \frac{1}{3}$

解题步骤 10

求余割值。

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解题步骤 10.1

使用余割的定义求

$\csc (θ)$ 的值。

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

解题步骤 10.2

代入已知值。

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{10}}{- 3}$

解题步骤 10.3

将负号移到分数的前面。

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{3}$

解题步骤 11

这是各个三角函数值的解。

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\tan (θ) = 3$

$\cot (θ) = \frac{1}{3}$

$\sec (θ) = - \sqrt{10}$

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{3}$

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