三角学示例

$2 \sin (t) \cos (t) + 1 = {(\frac{\sec (t) + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

解题步骤 1

从右边开始。

${(\frac{\sec (t) + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

解题步骤 2

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 2.1

对 $\sec (t)$ 使用倒数恒等式。

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

解题步骤 2.2

对 $\csc (t)$ 使用倒数恒等式。

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

解题步骤 2.3

对 $\sec (t)$ 使用倒数恒等式。

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \csc (t)})}^{2}$

解题步骤 2.4

对 $\csc (t)$ 使用倒数恒等式。

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.1.1

要将 $\frac{1}{\cos (t)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ 。

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

解题步骤 2.5.1.2

要将 $\frac{1}{\sin (t)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ 。

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} + \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

解题步骤 2.5.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\cos (t) \sin (t)$ 的形式。

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解题步骤 2.5.1.3.1

将 $\frac{1}{\cos (t)}$ 乘以 $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ 。

${(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

解题步骤 2.5.1.3.2

将 $\frac{1}{\sin (t)}$ 乘以 $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ 。

${(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\sin (t) \cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

${(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

解题步骤 2.5.1.4

在公分母上合并分子。

${(\frac{\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

解题步骤 2.5.2

将 $\frac{1}{\cos (t)}$ 乘以 $\frac{1}{\sin (t)}$ 。

${(\frac{\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t) \sin (t)}})}^{2}$

解题步骤 2.5.3

将分子乘以分母的倒数。

${(\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)} (\cos (t) \sin (t)))}^{2}$

解题步骤 2.5.4

约去 $\cos (t) \sin (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.4.1

约去公因数。

${(\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)} (\cos (t) \sin (t)))}^{2}$

解题步骤 2.5.4.2

重写表达式。

${(\sin (t) + \cos (t))}^{2}$

解题步骤 2.5.5

将 ${(\sin (t) + \cos (t))}^{2}$ 重写为 $(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$ 。

$(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$

解题步骤 2.5.6

使用 FOIL 方法展开 $(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$ 。

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解题步骤 2.5.6.1

运用分配律。

$\sin (t) (\sin (t) + \cos (t)) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t))$

解题步骤 2.5.6.2

运用分配律。

$\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t))$

解题步骤 2.5.6.3

运用分配律。

$\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)$

解题步骤 2.5.7

化简并合并同类项。

$\sin^{2} (t) + 2 \cos (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)$

解题步骤 3

使用勾股恒等式。

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解题步骤 3.1

移动 $\cos^{2} (t)$ 。

$\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t) + 2 \cos (t) \sin (t)$

解题步骤 3.2

使用勾股恒等式。

$1 + 2 \cos (t) \sin (t)$

解题步骤 4

将 $1 + 2 \cos (t) \sin (t)$ 重写为 $2 \sin (t) \cos (t) + 1$ 。

$2 \sin (t) \cos (t) + 1$

解题步骤 5

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$2 \sin (t) \cos (t) + 1 = {(\frac{\sec (t) + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$ 是一个恒等式

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