三角学示例

$\csc^{2} (θ) \cdot \tan^{2} (θ) - 1 = \tan^{2} (θ)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\csc^{2} (θ) \cdot \tan^{2} (θ) - 1$

解题步骤 2

将勾股恒等式反过来使用。

$(1 + \cot^{2} (θ)) \cdot \tan^{2} (θ) - 1$

解题步骤 3

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 3.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (θ)$ 。

$(1 + {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}) \cdot \tan^{2} (θ) - 1$

解题步骤 3.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (θ)$ 。

$(1 + {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}) \cdot {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - 1$

解题步骤 3.3

对 $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ 运用乘积法则。

$(1 + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}) \cdot {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - 1$

解题步骤 3.4

对 $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ 运用乘积法则。

$(1 + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}) \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - 1$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$1 \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} - 1$

解题步骤 4.1.2

将 $\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} - 1$

解题步骤 4.1.3

合并。

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2} {\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2} {\cos (θ)}^{2}} - 1$

解题步骤 4.1.4

化简每一项。

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解题步骤 4.1.4.1

约去 ${\cos (θ)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.1.1

约去公因数。

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2} {\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2} {\cos (θ)}^{2}} - 1$

解题步骤 4.1.4.1.2

重写表达式。

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} - 1$

解题步骤 4.1.4.2

约去 ${\sin (θ)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.2.1

约去公因数。

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} - 1$

解题步骤 4.1.4.2.2

重写表达式。

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + 1 - 1$

解题步骤 4.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + 0$

解题步骤 4.3

将 $\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

解题步骤 5

将 $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ 重写为 $\tan^{2} (θ)$ 。

$\tan^{2} (θ)$

解题步骤 6

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\csc^{2} (θ) \cdot \tan^{2} (θ) - 1 = \tan^{2} (θ)$ 是一个恒等式

三角学 示例

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