三角学示例

$\sin (θ) + \cos (θ) \cdot \cot (θ) = 2$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

将 $\cot (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\sin (θ) + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = 2$

解题步骤 1.1.2

乘以 $\cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = 2$

解题步骤 1.1.2.2

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)} = 2$

解题步骤 1.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (θ) + \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)} = 2$

解题步骤 1.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 2$

解题步骤 2

等式两边同时乘以 $\sin (θ)$ 。

$\sin (θ) (\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \cdot 2$

解题步骤 3

运用分配律。

$\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

解题步骤 4

乘以 $\sin (θ) \sin (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{1} (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

解题步骤 4.2

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

解题步骤 4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\sin (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

解题步骤 4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

解题步骤 5

约去 $\sin (θ)$ 的公因数。

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解题步骤 5.1

约去公因数。

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

解题步骤 5.2

重写表达式。

$\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = \sin (θ) \cdot 2$

解题步骤 6

使用勾股恒等式。

$1 = \sin (θ) \cdot 2$

解题步骤 7

将 $2$ 移到 $\sin (θ)$ 的左侧。

$1 = 2 \sin (θ)$

解题步骤 8

将方程重写为 $2 \sin (θ) = 1$ 。

$2 \sin (θ) = 1$

解题步骤 9

将 $2 \sin (θ) = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 9.1

将 $2 \sin (θ) = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 9.2

化简左边。

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解题步骤 9.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 9.2.1.2

用 $\sin (θ)$ 除以 $1$ 。

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

解题步骤 10

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $θ$ 。

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

解题步骤 11

化简右边。

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解题步骤 11.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$θ = \frac{π}{6}$

解题步骤 12

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$θ = π - \frac{π}{6}$

解题步骤 13

化简 $π - \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 13.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 13.2

合并分数。

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解题步骤 13.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 13.2.2

在公分母上合并分子。

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 13.3

化简分子。

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解题步骤 13.3.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 13.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$θ = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 14

求 $\sin (θ)$ 的周期。

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解题步骤 14.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 14.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 14.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 14.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 15

$\sin (θ)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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