三角学示例

$\sin (x) \cos (x) = 3 \cos (x)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $3 \cos (x)$ 。

$\sin (x) \cos (x) - 3 \cos (x) = 0$

解题步骤 2

从 $\sin (x) \cos (x) - 3 \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 2.1

从 $\sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) \sin (x) - 3 \cos (x) = 0$

解题步骤 2.2

从 $- 3 \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cdot - 3 = 0$

解题步骤 2.3

从 $\cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cdot - 3$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (\sin (x) - 3) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) - 3 = 0$

解题步骤 4

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $90$ 。

$x = 90$

解题步骤 4.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $360$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 360 - 90$

解题步骤 4.2.4

从 $360$ 中减去 $90$ 。

$x = 270$

解题步骤 4.2.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 4.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 4.2.5.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 4.2.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$x = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $\sin (x) - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\sin (x) - 3$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) - 3 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) - 3 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$\sin (x) = 3$

解题步骤 5.2.2

正弦函数的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $3$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 6

最终解为使 $\cos (x) (\sin (x) - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

合并答案。

$x = 90 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

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