三角学示例

$\csc (θ) = - \sqrt{5}$

解题步骤 1

使用余割的定义求单位圆直角三角形的已知边。所在象限将决定每一个值的正负号。

$\csc (θ) = \frac{斜边}{对边}$

解题步骤 2

求单位圆三角形的邻边。由于斜边和对边已知，使用勾股定理即可求最后一条边。

$邻边 = \sqrt{{斜边}^{2} - {对边}^{2}}$

解题步骤 3

替换方程中的已知值。

$邻边 = \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4

化简根式内部。

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解题步骤 4.1

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

邻边 $= \sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

邻边 $= \sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

邻边 $= \sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.1

约去公因数。

邻边 $= \sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.2

重写表达式。

邻边 $= \sqrt{5 - {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.5

计算指数。

邻边 $= \sqrt{5 - {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

邻边 $= \sqrt{5 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

邻边 $= \sqrt{5 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

解题步骤 4.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

邻边 $= \sqrt{5 + {(- 1)}^{3}}$

解题步骤 4.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

邻边 $= \sqrt{5 - 1}$

解题步骤 4.4

从 $5$ 中减去 $1$ 。

邻边 $= \sqrt{4}$

解题步骤 4.5

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

邻边 $= \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 4.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

邻边 $= 2$

解题步骤 5

求正弦值。

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解题步骤 5.1

使用正弦的定义求 $\sin (θ)$ 的值。

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

解题步骤 5.2

代入已知值。

$\sin (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{5}}$

解题步骤 5.3

化简 $\sin (θ)$ 的值。

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解题步骤 5.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin (θ) = - \frac{1}{\sqrt{5}}$

解题步骤 5.3.2

将 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\sin (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 5.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 5.3.3.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 5.3.3.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 5.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 5.3.3.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 5.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

解题步骤 5.3.3.6.5

计算指数。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

解题步骤 6

求余弦值。

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解题步骤 6.1

使用余弦的定义求 $\cos (θ)$ 的值。

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

解题步骤 6.2

代入已知值。

$\cos (θ) = \frac{2}{\sqrt{5}}$

解题步骤 6.3

化简 $\cos (θ)$ 的值。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 6.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 6.3.2.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 6.3.2.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 6.3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 6.3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 6.3.2.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 6.3.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 6.3.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.3.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.6.4.1

约去公因数。

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.3.2.6.4.2

重写表达式。

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 6.3.2.6.5

计算指数。

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 7

求正切值。

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解题步骤 7.1

使用正切的定义求 $\tan (θ)$ 的值。

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

解题步骤 7.2

代入已知值。

$\tan (θ) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 7.3

将负号移到分数的前面。

$\tan (θ) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 8

求余切值。

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解题步骤 8.1

使用余切的定义求 $\cot (θ)$ 的值。

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

解题步骤 8.2

代入已知值。

$\cot (θ) = \frac{2}{- 1}$

解题步骤 8.3

用 $2$ 除以 $- 1$ 。

$\cot (θ) = - 2$

解题步骤 9

求正割值。

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解题步骤 9.1

使用正割的定义求 $\sec (θ)$ 的值。

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

解题步骤 9.2

代入已知值。

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{5}}{2}$

解题步骤 10

这是各个三角函数值的解。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\tan (θ) = - \frac{1}{2}$

$\cot (θ) = - 2$

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\csc (θ) = - \sqrt{5}$

三角学 示例

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