三角学示例

$A = 51 °$ , $b = 11$ , $c = 7$

解题步骤 1

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

解题步骤 2

求解方程。

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

解题步骤 3

将已知值代入方程中。

$a = \sqrt{{(11)}^{2} + {(7)}^{2} - 2 \cdot 11 \cdot 7 \cos (51 °)}$

解题步骤 4

化简结果。

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解题步骤 4.1

对 $11$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{121 + {(7)}^{2} - 2 \cdot 11 \cdot (7 \cos (51 °))}$

解题步骤 4.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{121 + 49 - 2 \cdot 11 \cdot (7 \cos (51 °))}$

解题步骤 4.3

乘以 $- 2 \cdot 11 \cdot 7$ 。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 2$ 乘以 $11$ 。

$a = \sqrt{121 + 49 - 22 \cdot (7 \cos (51 °))}$

解题步骤 4.3.2

将 $- 22$ 乘以 $7$ 。

$a = \sqrt{121 + 49 - 154 \cos (51 °)}$

解题步骤 4.4

计算 $\cos (51 °)$ 。

$a = \sqrt{121 + 49 - 154 \cdot 0.62932039}$

解题步骤 4.5

将 $- 154$ 乘以 $0.62932039$ 。

$a = \sqrt{121 + 49 - 96.91534022}$

解题步骤 4.6

将 $121$ 和 $49$ 相加。

$a = \sqrt{170 - 96.91534022}$

解题步骤 4.7

从 $170$ 中减去 $96.91534022$ 。

$a = \sqrt{73.08465977}$

解题步骤 4.8

计算根。

$a = 8.54895664$

解题步骤 5

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 6

将已知值代入正弦定理以求 $B$ 。

$\frac{\sin (B)}{11} = \frac{\sin (51 °)}{8.54895664}$

解题步骤 7

求解 $B$ 的方程。

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解题步骤 7.1

等式两边同时乘以 $11$ 。

$11 \frac{\sin (B)}{11} = 11 \frac{\sin (51 °)}{8.54895664}$

解题步骤 7.2

化简方程的两边。

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解题步骤 7.2.1

化简左边。

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解题步骤 7.2.1.1

约去 $11$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1.1

约去公因数。

$11 \frac{\sin (B)}{11} = 11 \frac{\sin (51 °)}{8.54895664}$

解题步骤 7.2.1.1.2

重写表达式。

$\sin (B) = 11 \frac{\sin (51 °)}{8.54895664}$

解题步骤 7.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.1

化简 $11 \frac{\sin (51 °)}{8.54895664}$ 。

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解题步骤 7.2.2.1.1

计算 $\sin (51 °)$ 。

$\sin (B) = 11 (\frac{0.77714596}{8.54895664})$

解题步骤 7.2.2.1.2

用 $0.77714596$ 除以 $8.54895664$ 。

$\sin (B) = 11 \cdot 0.09090535$

解题步骤 7.2.2.1.3

将 $11$ 乘以 $0.09090535$ 。

$\sin (B) = 0.99995893$

解题步骤 7.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $B$ 。

$B = \arcsin (0.99995893)$

解题步骤 7.4

化简右边。

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解题步骤 7.4.1

计算 $\arcsin (0.99995893)$ 。

$B = 89.48074467$

解题步骤 7.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$B = 180 - 89.48074467$

解题步骤 7.6

从 $180$ 中减去 $89.48074467$ 。

$B = 90.51925532$

解题步骤 7.7

方程 $B = 89.48074467$ 的解。

$B = 89.48074467, 90.51925532$

解题步骤 8

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$51 ° + C + 89.48074467 = 180$

解题步骤 9

求解 $C$ 的方程。

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解题步骤 9.1

将 $51 °$ 和 $89.48074467$ 相加。

$C + 140.48074467 = 180$

解题步骤 9.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.2.1

从等式两边同时减去 $140.48074467$ 。

$C = 180 - 140.48074467$

解题步骤 9.2.2

从 $180$ 中减去 $140.48074467$ 。

$C = 39.51925532$

解题步骤 10

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 51 °$

$B = 89.48074467$

$C = 39.51925532$

$a = 8.54895664$

$b = 11$

$c = 7$

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