三角学示例

$\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

解题步骤 1

使用 $1 - \sin^{2} (θ)$ 替换 $\cos^{2} (θ)$ 。

$\sin (θ) \cot (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 2.1.1

将 $\sin (θ)$ 和 $\cot (θ)$ 重新排序。

$\cot (θ) \sin (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

解题步骤 2.1.2

将 $\sin (θ) \cot (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \sin (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

解题步骤 2.1.3

约去公因数。

$\cos (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

解题步骤 2.2

使用勾股恒等式。

$\cos (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

解题步骤 3

从 $\cos (θ) - \cos^{2} (θ)$ 中分解出因数 $\cos (θ)$ 。

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解题步骤 3.1

从 $\cos^{1} (θ)$ 中分解出因数 $\cos (θ)$ 。

$\cos (θ) \cdot 1 - \cos^{2} (θ) = 0$

解题步骤 3.2

从 $- \cos^{2} (θ)$ 中分解出因数 $\cos (θ)$ 。

$\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ)) = 0$

解题步骤 3.3

从 $\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ))$ 中分解出因数 $\cos (θ)$ 。

$\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (θ) = 0$

$1 - \cos (θ) = 0$

解题步骤 5

将 $\cos (θ)$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\cos (θ)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (θ) = 0$

解题步骤 5.2

求解 $θ$ 的 $\cos (θ) = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $θ$ 。

$θ = \arccos (0)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $90$ 。

$θ = 90$

解题步骤 5.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $360$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$θ = 360 - 90$

解题步骤 5.2.4

从 $360$ 中减去 $90$ 。

$θ = 270$

解题步骤 5.2.5

求 $\cos (θ)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 5.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 5.2.5.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 5.2.6

$\cos (θ)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $1 - \cos (θ)$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 6.1

将 $1 - \cos (θ)$ 设为等于 $0$ 。

$1 - \cos (θ) = 0$

解题步骤 6.2

求解 $θ$ 的 $1 - \cos (θ) = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \cos (θ) = - 1$

解题步骤 6.2.2

将 $- \cos (θ) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $- \cos (θ) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.2.2

用 $\cos (θ)$ 除以 $1$ 。

$\cos (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\cos (θ) = 1$

解题步骤 6.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $θ$ 。

$θ = \arccos (1)$

解题步骤 6.2.4

化简右边。

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解题步骤 6.2.4.1

$\arccos (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$θ = 0$

解题步骤 6.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $360$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$θ = 360 - 0$

解题步骤 6.2.6

从 $360$ 中减去 $0$ 。

$θ = 360$

解题步骤 6.2.7

求 $\cos (θ)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 6.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 6.2.7.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 6.2.8

$\cos (θ)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$θ = 360 n, 360 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

最终解为使 $\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$ 成立的所有值。

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 360 n, 360 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

合并答案。

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解题步骤 8.1

将 $90 + 360 n$ 和 $270 + 360 n$ 合并为 $90 + 180 n$ 。

$θ = 90 + 180 n, 360 n, 360 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8.2

将 $360 n$ 和 $360 + 360 n$ 合并为 $360 n$ 。

$θ = 90 + 180 n, 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

排除不能使 $\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$ 成立的解。

$θ = 90, 270, 360, 450, 630, 720, 810, 990, 1080, 1170, 1350, 1440, 1800, 2160, 2520$ ，对于任意整数 $n$

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