三角学示例

$\tan^{2} (θ) - 1 = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\tan^{2} (θ) = 1$

解题步骤 2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\tan (θ) = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\tan (θ) = \pm 1$

解题步骤 4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\tan (θ) = 1$

解题步骤 4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\tan (θ) = - 1$

解题步骤 4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\tan (θ) = 1, - 1$

解题步骤 5

建立每一个解以求解 $θ$ 。

$\tan (θ) = 1$

$\tan (θ) = - 1$

解题步骤 6

在 $\tan (θ) = 1$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 6.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $θ$ 。

$θ = \arctan (1)$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$θ = \frac{π}{4}$

解题步骤 6.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$θ = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 6.4

化简 $π + \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 6.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 6.4.2

合并分数。

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解题步骤 6.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 6.4.2.2

在公分母上合并分子。

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 6.4.3

化简分子。

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解题步骤 6.4.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 6.4.3.2

将 $4 π$ 和 $π$ 相加。

$θ = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 6.5

求 $\tan (θ)$ 的周期。

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解题步骤 6.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 6.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 6.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 6.6

$\tan (θ)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

在 $\tan (θ) = - 1$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 7.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $θ$ 。

$θ = \arctan (- 1)$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$θ = - \frac{π}{4}$

解题步骤 7.3

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$θ = - \frac{π}{4} - π$

解题步骤 7.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 7.4.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{4} - π$ 。

$θ = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 7.4.2

得出的角 $\frac{3 π}{4}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{4} - π$ 共边。

$θ = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 7.5

求 $\tan (θ)$ 的周期。

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解题步骤 7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 7.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 7.6

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 7.6.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + π$

解题步骤 7.6.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 7.6.3

合并分数。

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解题步骤 7.6.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 7.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 7.6.4

化简分子。

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解题步骤 7.6.4.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 7.6.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{4}$

解题步骤 7.6.5

列出新角。

$θ = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 7.7

$\tan (θ)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

列出所有解。

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

合并答案。

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

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